Задача 70809 1. Решите уравнение 2. Решите...
Условие
2. Решите уравнение
3. Укажите неравенство, не имеющее решений
4. Решите неравенство
5. Решите неравенство
6. Укажите количество всех корней уравнения, принадлежащих промежутку
А. Один
Б. Два
В. Три
Г. Четыре
7. Установите соответствие между неравенством и множеством его решений
8. Задана функция
1). Найдите в градусах наибольший отрицательный корень уравнения
9. Решите уравнение
Решение
Выносим за скобки sin x
sin x*(sin x + sqrt(6)) = 0
sin x = 0; [b]x1 = πn, n ∈ Z[/b]
sin x + sqrt(6) = 0
sin x = -sqrt(6) < -1
Синус по определению принимает значения в промежутке [-1; 1].
Поэтому это уравнение решений не имеет.
Ответ: Б) πn, n ∈ Z
[b]2.[/b] sin(6x) - sqrt(3)cos(6x) = 0
sin(6x) = sqrt(3)cos(6x)
Делим всё на cos(6x) ≠ 0
tg(6x) = sqrt(3)
[b]6x = π/3 + πn, n ∈ Z[/b]
Ответ: В) x = π/18 + πn/6, n ∈ Z
[b]3.[/b] Неравенство, не имеющее решений:
[b]Г) cos x - 1,02 > 0[/b]
Из него получается:
cos x > 1,02
А косинус по определению принимает значения в промежутке [-1; 1]
Ответ: Г)
[b]4.[/b] 9sqrt(3)ctg x < 9
Делим всё на 9
sqrt(3)ctg x < 1
Делим всё на sqrt(3)
ctg x < 1/sqrt(3)
[b]x ∈ (0 + πn; π/3 + πn), n ∈ Z[/b]
Ответ: А) (πn; π/3 + πn), n ∈ Z
[b]5.[/b] 2cos(8x) + 1 > 0
2cos(8x) > -1
cos(8x) > -1/2
Решение этого неравенства показано красным цветом на рисунке 1.
Если решение проходит через 0°, то начинаем с отрицательного значения.
И период решения составляет 2π
8x ∈ (-2π/3 + 2πn; 2π/3 + 2πn), n ∈ Z
Осталось разделить на 8.
[b]x ∈ (-π/12 + πn/4; π/12 + πn/4), n ∈ Z[/b]
Но, чтобы неизвестные были положительными, мы прибавим период:
-π/12 + π/4 = -π/12 + 3π/12 = 2π/12 = π/6
π/12 + π/4 = π/12 + 3π/12 = 4π/12 = π/3
Ответ: В) (π/6 + πn/4; π/3 + πn/4)
[b]6.[/b] sin(3x) + sin(9x) + cos(3x) = 0; x ∈ [0; π/2]
Я честно не знаю, как его решать.
Проверим значения на концах отрезка:
x = 0: sin 0 + sin 0 + cos 0 = 0 + 0 + 1 = 1 ≠ 0 - не подходит.
x = π/2: sin(3π/2) + sin(9π/2) + cos(3π/2) = -1 + 1 + 0 = 0 - подходит.
Значит, x1 = π/2.
График функции
y = sin(3x) + sin(9x) + cos(3x)
показывает, что на промежутке [0; π/2] будет 4 корня.
На рисунке 2 можно это видеть. Линия x = π/2 проведена черным цветом.
Корни отмечены синими кружками. В одном 2 корня и в двух по 1.
Ответ: Четыре.
[b]7.[/b] Неравенства и ответы
1) x - π/9 ∈ [π/3+2πn; 2π/3+2πn]
x ∈ [4π/9+2πn; 7π/9+2πn]
2) x - π/9 ∈ [-4π/3+2πn; π/3+2πn]
x ∈ [-11π/9+2πn; 4π/9+2πn] = [7π/9+2πn; 22π/9+2πn]
3) x - π/9 ∈ [-π/6+2πn; π/6+2πn]
x ∈ [-π/18+2πn; 5π/18+2πn]
4) x - π/9 ∈ [π/6+2πn; 11π/6+2πn]
x ∈ [5π/18+2πn; 35π/18+2πn]
Ответ: 1) В.; 2) Д.; 3) А.; 4) Г.
[b]8.[/b] 2cos^2(x) + 9sin(x) - 6 = 0
Найти наибольший отрицательный корень уравнения.
cos^2(x) = 1 - sin^2(x)
2 - 2sin^2(x) + 9sin(x) - 6 = 0
2sin^2(x) - 9sin(x) + 4 = 0
Замена sin x = y ∈ [-1; 1] при любом x.
2y^2 - 9y + 4 = 0
D = 9^2 - 4*2*4 = 81 - 32 = 49 = 7^2
y1 = (9 - 7)/4 = 2/4 = 1/2
sin x = 1/2; x1 = π/6 + 2πn; x2 = 5π/6 + 2πn
Наибольший отрицательный корень:
[b]x = 5π/6 - 2π = -7π/6[/b]
y2 = (9 + 7)/4 = 16/4 = 4 > 1 - не подходит.
Ответ: -7π/6
[b]9.[/b] 3sin^2(π - x) + 2cos(3π/2 - 2x) + 5sin^2(x - π/2) = 2
По формулам приведения:
sin(π - x) = sin(x)
cos(3π/2 - 2x) = -sin(2x) = -2sin(x)*cos(x)
sin(x - π/2) = -sin(π/2 - x) = -cos x
sin^2(x - π/2) = (-cos x)^2 = cos^2(x)
Подставляем в наше уравнение:
3sin^2(x) - 4sin(x)*cos(x) + 5cos^2(x) = 2sin^2(x) + 2cos^2(x)
sin^2(x) - 4sin(x)*cos(x) + 3cos^2(x) = 0
Делим всё уравнение на cos^2(x) ≠ 0
tg^2(x) - 4tg(x) + 3 = 0
Замена tg(x) = y
y^2 - 4y = 3 = 0
(y - 1)(y - 3) = 0
y1 = tg x = 1; [b]x1 = π/4 + πn, n ∈ Z[/b]
y2 = tg x = 3; [b]x2 = arctg(3)+ πn, n ∈ Z[/b]
Ответ: π/4 + πn; arctg(3)+ πn, n ∈ Z
