Задача 70799 Линейные дифф уравнения первого порядка...
Условие
Решение
[m]y`-\frac{2}{x}y=\frac{3}{x^2}[/m]
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка
Решаем методом Бернулли.
Находим решение в виде произведения двух функций
[m]y=u(x)\cdot v(x)[/m]
Тогда
[m]y`=u`(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v`(x)[/m]
Подставляем y` и y в данное уравнение:
[m]u`\cdot v+u\cdot v`-\frac{2}{x}\cdot u\cdot v=\frac{3}{x^2}[/m]
Группируем
[m]u`\cdot v+u\cdot (v`-\frac{2}{x}\cdot v)=\frac{3}{x^2}[/m]
Так как функции u(x) и v(x) - произвольные, полагаем
выражение в скобках равным 0
[m]v`-\frac{2}{x}\cdot v=0[/m]
тогда уравнение принимает вид
[m]u`\cdot v+0=\frac{3}{x^2}[/m]
Это уравнения с разделяющимися переменными
Решаем первое:
[m]v`-\frac{2}{x}\cdot v=0[/m]
[m]v`= \frac{dv}{dx}[/m]
[m] \frac{dv}{dx} =\frac{2}{x}v[/m]
[m]\frac{dv}{v}= \frac{2}{x} dx[/m]
Интегрируем
[m] ∫ \frac{dv}{v}= ∫ \frac{2}{x} dx[/m]
[m]ln|v|= 2ln|x|[/m] ( считаем что константа С=0)
[m]ln|v|=ln|x|^2[/m]
[m]v=x^2[/m]
Подставляем во второе уравнение
[m]u`\cdot v+0=\frac{3}{x^2}[/m]
[m]u`\cdot x^2=\frac{3}{x^2}[/m]
[m]u`=\frac{3}{x^4}[/m]
[m]u(x)=∫\frac{3}{x^4}dx[/m]
[m]u(x)=-\frac{1}{x^3}+C[/m]
[m]y=(-\frac{1}{x^3}+C)\cdot x^2 [/m] - общее решение
Задача Коши
y(1)=-1
[m]y(1)=(-\frac{1}{1^3}+C)\cdot 1^2 [/m]
[m]-1=(-1+C)[/m]
[m]C=0[/m]
[m]y=(-\frac{1}{x^3}+0)\cdot x^2 [/m] -частное решение
2.
[m]y`=2xy+2x^3[/m]
[m]y`-2xy=2x^3[/m]
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка
Решаем методом Бернулли.
Находим решение в виде произведения двух функций
[m]y=u(x)\cdot v(x)[/m]
Тогда
[m]y`=u`(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v`(x)[/m]
Подставляем y` и y в данное уравнение:
[m]u`\cdot v+u\cdot v`-2x\cdot u\cdot v=2x^3[/m]
Группируем
[m]u`\cdot v+u\cdot (v`-2x\cdot v)=2x^3[/m]
Так как функции u(x) и v(x) - произвольные, полагаем
выражение в скобках равным 0
[m]v`-2x\cdot v=0[/m]
тогда уравнение принимает вид
[m]u`\cdot v=2x^3[/m]
Это уравнения с разделяющимися переменными
Решаем первое:
[m]v`-2x\cdot v=0[/m]
[m]v`= \frac{dv}{dx}[/m]
[m] \frac{dv}{dx} =2xv[/m]
[m]\frac{dv}{v}= 2x dx[/m]
Интегрируем
[m] ∫ \frac{dv}{v}= ∫ 2xdx[/m]
[m]ln|v|= x^2[/m] ( считаем что константа С=0)
[m]v=e^{x^2}[/m]
Подставляем во второе уравнение
[m]u`\cdot v+0=2x^3[/m]
[m]u`\cdot e^{x^2}=2x^3[/m]
[m]u`=e^{-x^2}\cdot 2x^3dx[/m]
[m]u(x)=∫e^{-x^2}\cdot (2x)\cdot x^2dx[/m]
Замена переменной: [m]-x^2=t[/m] [m]-2xdx=dt[/m]
[m]= ∫ e^{t}\cdot t(-dt)[/m]
интегрирование по частям
[m]u(x)=t\cdot e^{t}-e^{t}+C[/m]
[m]u(x)=-x^2\cdot e^{-x^2}-e^{-x^2}+C[/m]
[m]y=u*v[/m]
[m]y=(-x^2\cdot e^{-x^2}-e^{-x^2}+C)\cdot x^2[/m] - общее решение