Задача 70797 ...
Условие
[b] Условие: [/b]Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Найдите расстояние между точками касания А и В, если ∠ AOB = 60° , MA = 7.
[b]Решение (?):[/b] Рассмотрим треугольник МАО. Угол МАО прямой, а угол ОАМ равен углу ОМВ, так как они соответственные при параллельных прямых. Значит, треугольник МАО равнобедренный, и МО = АО.
Рассмотрим теперь треугольник ОАВ. Угол ОАВ также прямой, а угол ОВМ равен углу ОМА, так как они соответственные при параллельных прямых. Значит, треугольник ОАВ тоже равнобедренный, и ОА = ОВ.
По условию, угол AOB равен 60°, значит, угол АОВ также равен 60°. Рассмотрим треугольник АОВ. В нем известны две стороны, равные ОА и ОВ, и угол между ними, равный 60°. Можно найти третью сторону по теореме косинусов:
AV² = AO² + OV² - 2AO·OV·cos(60°) = 2AO² - AO² = AO²
Таким образом, AV = AO. Из этого следует, что треугольник АВО равносторонний, и расстояние между точками касания А и В равно ОА = ОВ = 7. [b]Ответ: 7. [/b]
Решение
ОА ⊥ АМ
ОВ ⊥ ВМ
Δ МАО-прямоугольный , так как
Угол МАО- прямой, ОА ⊥ АМ
Δ МBО- прямоугольный , так как
Угол МBО- прямой, ОB ⊥ BМ
ОА=ОВ=R
MB- общая сторона этих треугольников
Δ МАО=Δ МBО [b] по гипотенузе и катету[/b]
⇒
∠ МОА= ∠МОВ=30 °
MO=14 ( катет против угла в 30 ° равен половине гипотенузы, значит гипотенуза в два раза больше катета
По теореме Пифагора
AO^2=MO^2-AM^2=14^2-7^2=196-49=147=49*3
AO=7sqrt(3)
Δ АВО - равнобедренный с углом 60 ° при вершине, значит он равносторонний
АО=ОВ=АВ=7sqrt(3)
[b]АВ=7sqrt(3)[/b]
