Задача 70791 В прямоугольном параллелепипеде...

62121c6e93c104614c3c379a

13.04.2023 15:18:56

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка F - середина ребра A1B1, AA1 = 12, AD = 10, AB = 15. Найдите тангенс угла между плоскостями BFC1 и АВС

5f3ea7e3faf909182968ddd9

13.04.2023 19:49:25

★

Пл АВС || пл. А_(1)В_(1)С_(1)

Угол между BFC_(1) и АВС равен углу между BFC_(1) и А_(1)В_(1)С_(1)

Угол между гранями BFC_(1) и А_(1)В_(1)С_(1) и есть двугранный угол

Двугранный угол измеряется линейным углом.

Две плоскости пересекаются по прямой. В нашем случае это прямая FС_(1)


Чтобы построить линейный угол двугранного угла надо из любой точки прямой FС_(1) провести перпендикуляры в каждой плоскости


В плоскости А_(1)В_(1)С_(1) проводим B_(1)K ⊥ FС_(1)

BB_(1) ⊥ пл. А_(1)В_(1)С_(1) ⇒ BB_(1) ⊥ FС_(1)

B_(1)K- проекция BK

По теореме о трех перпендикулярах BK⊥ FС_(1)

Провели два перпендикуляра к линии пересечения, а можно сказать, что из точки К прямой FС_(1) провели перпендикуляры в каждой плоскости

∠ BKB_(1)- линейный угол двугранного угла между BFC_(1) и А_(1)В_(1)С_(1)

Находим его из прямоугольного треугольника BKB_(1)

tg ∠ BKB_(1)=BB_(1)/B_(1)K


B_(1)K - высота прямоугольного треугольника FC_(1)B_(1), проведенная из вершины прямого угла

По теореме Пифагора

C_(1)F^2=10^2+7,5^2=100+56,25=156,25=12,5:2

C_(1)F=12,5


S_( Δ FC_(1)B_(1))=(1/2)FB_(1)*B_(1)C_(1)

S_( Δ FC_(1)B_(1))=(1/2)C_(1)F*B_(1)K

Приравниваем правые части

(1/2)FB_(1)*B_(1)C_(1) =(1/2)C_(1)F*B_(1)K

B_(1)K=FB_(1)*B_(1)C_(1) /C_(1)F

B_(1)K=7,5*10/12,5=[b]6[/b]


tg ∠ BKB_(1)=BB_(1)/B_(1)K=12/6=[b]2[/b]