Задача 70786 В треугольнике АВС проведены отрезки ВМ...

63edf777a6986023f7365eb3

12.04.2023 22:57:25

В треугольнике АВС проведены отрезки ВМ к стороне АС и АF к стороне ВС. Данные отрезки пересекаются в точке Т. Найди отношение площади четырёхугольника TFCM к площади треугольника АТВ, если АМ = СМ, САF = ВАF, АВ : АС = 1: 4.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

12.04.2023 23:26:41

★

По свойству площадей ( см. теоремы в приложении)

S_( Δ АТВ) : S_( Δ АТМ)=ТВ:ТМ

По свойству биссектрисы
ТВ:ТМ=АВ:АМ

По условию
АВ:АС=1:4
АС=4АВ
АМ=МС=(1/2)АС=(1/2)*4АС=2АС

S_( Δ АТВ) : S_( Δ АТМ)=1:2

Обозначим

S_( Δ АТВ)=S
S_( Δ АТМ)=2S


По свойству площадей ( см. теоремы в приложении)
S_( Δ АТМ)=S_( Δ МТС)= 2S

S_( Δ АBМ)=3S

S_( Δ ABM)=S_( Δ МBС)=3S ⇒


S_( Δ BTC)=S


По свойству площадей ( см. теоремы в приложении)
S_( Δ BТF):S_( Δ ТFС)= BF:FC=AB:AC=1:4

S_( Δ BТF)=S/5
S_( Δ ТFС)=4S/5


S_(MTFC)=(4S/5)+2S=14S/5

S_( Δ АТВ)=S

S_( Δ АТВ): S_(MTFC)=5:14