Задача 70768 ...
Условие
a² - ax - 2x² - 0,5x - 2a + la + 2,5x |= 0 имеет ровно три различных корня. В ответе укажите количество значений параметра а. удовлетворяющих условию задачи.
Решение
1)
Если [m]a+2,5x ≥ 0[/m], то | a+2,5x|=a+2,5x
Уравнение принимает вид
a² – ax – 2x² – 0,5x – 2a +a + 2,5x =0
Упрощаем
2x^2+(a-2)x-(a^2-a)=0
D=((a-2)^2+8(a^2-a)=a^2-4a+4+8a^2-8a=9a^2-12a+4=(3a-2)^2
x_(1)=(-a+2-3a+2)/4; x_(2)=(-a+2+3a-2)/4
x_(1)=-a+1; x_(2)=a/2
Проверяем выполнение условия
[m]a+2,5x ≥ 0[/m]
x_(1)=-a+1
[m]a+2,5(-a+1) ≥ 0[/m] ⇒ [m]a ≤ \frac{5}{3}[/m]
x_(2)=a/2
[m]a+2,5\cdot \frac{a}{2} ≥ 0[/m] ⇒ [m]a ≥0 [/m]
При
a ∈ (- ∞ ; 0) U([m]\frac{5}{3}[/m];+ ∞ ) уравнение имеет один корень
при
a ∈ [0;[m]\frac{5}{3}[/m]] уравнение имеет два корня.
2)
Если [m]a+2,5x < 0[/m], то a+2,5x=-a-2,5x
Уравнение принимает вид
a² – ax – 2x² – 0,5x – 2a -a - 2,5x =0
2x^2+(a+3)x-(a^2-3a)=0
D=(a+3)^2+8(a^2-3a)=a^2+6a+9+8a^2-24a=9a^2-18a+9=9*(a-1)^2=(3a-3)^2
x_(3)=(-a-3-3a+3)/4; x_(4)=(-a-3+3a-3)/4
x_(3)=-a; x_(4)=(a-3)/2
Проверяем выполнение условия
[m]a+2,5x < 0[/m]
x_(3)=-a
[m]a+2,5(-a) < 0[/m] ⇒ [m]a > 0[/m]
x_(4)=(a-3)/2
[m]a+2,5\cdot \frac{a-3}{2} < 0[/m] ⇒ [m]a < \frac{5}{3}[/m]
При
a ∈ (- ∞ ; 0) U([m]\frac{5}{3}[/m];+ ∞ ) уравнение имеет один корень
при
a ∈ [0;[m]\frac{5}{3}][/m] уравнение имеет два корня.
Итак,
При
a ∈ (- ∞ ; 0) U([m]\frac{5}{3}[/m];+ ∞ ) первое уравнение имеет один корень
при
a ∈ [0;[m]\frac{5}{3}[/m]] первое уравнение имеет два корня.
При
a ∈a ∈ (- ∞ ; 0] U[[m]\frac{5}{3}[/m];+ ∞ ) второе уравнение имеет один корень
при
a ∈ (0;[m]\frac{5}{3})[/m] второе уравнение имеет два корня.
О т в е т. a =0 и а=[m]\frac{5}{3}[/m] уравнение имеет три корня