Задача 70757 Найти общий интеграл дифференциального...
Условие
(y/(x^2+y^2) + e^x) dx - x/(x^2+y^2) dy = 0
Решение
[m]Q(x;y)=-\frac{x}{x^2+y^2}[/m]
Так как
[m]\frac{∂ P}{ ∂ y}=\frac{y`_{y}\cdot (x^2+y^2)-y\cdot (x^2+y^2)`_{y}}{(x^2+y^2)^2}+(e^{x})`_{y}[/m] ⇒ [m]\frac{∂ P}{ ∂ y}=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}[/m]
[m]\frac{∂ Q}{∂ x}=-\frac{x`_{x}\cdot (x^2+y^2)-x\cdot (x^2+y^2)`_{x}}{(x^2+y^2)^2}[/m] ⇒ [m]\frac{∂ Q}{ ∂ x}=-\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}[/m]
[m] \frac{ ∂ P}{ ∂ y} = \frac{ ∂ Q}{ ∂ x}[/m],
то это [b]уравнение в полных дифференциалах.[/b]
Значит, u(x;y)=C - решение дифференциального уравнения.
Функция u может быть найдена из условий:
[m]\frac{∂ u}{ ∂ x}=P(x;y)[/m]
[m]\frac{∂ u}{∂ y}=Q(x;y)[/m]
[m]\frac{∂ u}{ ∂ x}=P(x;y)[/m] ⇒ [b]u(x;y)[/b]= [m]∫ P(x;y) dx= ∫( \frac{y}{x^2+y^2}+e^{x})dx=y\cdot \frac{1}{y}arctg\frac{x}{y}+e^{x}[/m]+ [b]φ (y)[/b]=[m]arctg\frac{x}{y}++e^{x}[/m] [b]φ (y)[/b]
Находим производную:
[m]\frac{∂ u}{ ∂y}=([m]arctg\frac{x}{y}+e^{x})`_{y}+[/m] [b]φ (y)[/b])`_(y)=[m]\frac{1}{1+(\frac{x}{y})^2}\cdot (\frac{x}{y})`_{y}+0[/m]+ [b](φ (y)[/b])`_(y)=[m]-\frac{x}{x^2+y^2}+[/m]+[b](φ (y)[/b])`_(y)=
Так как
[m]\frac{∂ u}{ ∂y}=Q(x;y)[/m]
то сравнивая выражения, заключаем, что
[b]φ` (y)[/b]=0
Тогда
[b] φ (y)[/b]=C
О т в е т.
u(x;y)=[m]arctg\frac{x}{y}+e^{x}+С[/m]