Задача 70756 Найти решение задачи Коши y' +...
Условие
Решение
[m]y` +\frac{1-2x}{x^2}y=1[/m]
Решаем методом Бернулли.
Находим решение в виде произведения двух функций
[m]y=u(x)\cdot v(x)[/m]
Тогда
[m]y`=u`(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v`(x)[/m]
Подставляем y` и y в данное уравнение:
[m]u`(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v`(x)+\frac{1-2x}{x^2}\cdot u(x)\cdot v(x)=1[/m]
Группируем
[m]u`(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot (v`(x)+\frac{1-2x}{x^2}\cdot v(x))=1[/m]
Так как функции u(x) и v(x) - произвольные, полагаем
выражение в скобках равным 0
[m]v`(x)+\frac{1-2x}{x^2}\cdot v(x)=0[/m]
тогда уравнение принимает вид
[m]u`(x)\cdot v(x)+0=1[/m]
Это уравнения с разделяющимися переменными
Решаем первое:
[m]v`(x)+\frac{1-2x}{x^2}\cdot v(x)=0[/m]
[m]v`(x)= \frac{dv}{dx}[/m]
[m] \frac{dv}{dx} +\frac{1-2x}{x^2}v(x)
=0[/m]
[m]\frac{dv}{v}= -\frac{1-2x}{x^2} dx[/m]
[m]\frac{dv}{v}= \frac{2x-1}{x^2} dx[/m]
Интегрируем
[m] ∫ \frac{dv}{v}= ∫ \frac{2x-1}{x^2} dx[/m]
[m] ∫ \frac{dv}{v}= ∫ (\frac{2x}{x^2} -\frac{1}{x^2})dx[/m]
[m]ln|v|= 2ln|x|+\frac{1}{x}[/m] ( считаем что константа С=0)
[m]ln|v|-ln|x|^2=\frac{1}{x}[/m]
[m]ln\frac{v}{x^2}=\frac{1}{x}[/m]
[m]\frac{v}{x^2}=e^{\frac{1}{x}}[/m]
[m]v(x)=x^2\cdot e^{\frac{1}{x}}[/m]
Подставляем во второе уравнение
[m]u`(x)\cdot v(x)+0=1[/m]
[m]u`(x)\cdot x^2\cdot e^{\frac{1}{x}}+0=1[/m]
[m]u`(x)=\frac{1}{x^2}\cdot e^{-\frac{1}{x}}[/m]
[m]u(x)=∫\frac{1}{x^2}\cdot e^{\frac{1}{x}}[/m]
[m]u(x)=∫ e^{-\frac{1}{x}}d(-\frac{1}{x})=e^{-\frac{1}{x}}+C[/m]
[m]y=(e^{-\frac{1}{x}}+C)\cdot x^2\cdot e^{\frac{1}{x}} [/m] - общее решение
Задача Коши
y(1)=1
[m]y(1)=(e^{-\frac{1}{1}}+C)\cdot 1^2\cdot e^{\frac{1}{1}} [/m] - общее решение
[m]1=(e^{-1}+C)e[/m]
[m]C=0[/m]
[m]y=(e^{-\frac{1}{x}}+0)\cdot x^2\cdot e^{\frac{1}{x}} [/m] - - частное решение