Задача 70728 Сторона основания правильной треугольной...

63dec95054c4b05fdae17621

10.04.2023 14:00:11

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 3 см,а угол между боковой гранью и основанием пирамиды 45°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

6433bbeb4a766523b8d1592e

10.04.2023 14:48:26

★

Пирамида правильная ⇒ в основании лежит [b]правильный[/b] треугольник.
Площадь полной поверхности = площадь основания + площадь боковой поверхности. (Sпп = Sосн + Sб.).
Площадь равностороннего треугольника находится по формуле:
[m]S = (a^2 * \sqrt(3)) / 4[/m].

Итак, [b]Sосн = Sправ.треугол. = [m](3^2 * \sqrt(3)) / 4 = (9\sqrt(3)) / 4.[/m] см2.[/b]

Площадь боковой поверхности Sб. определяется по формуле:
[b]Sб.=Р*(апофема) / 2 [/b]

Основание высоты МО правильной пирамиды перпендикулярно основанию и лежит в центре вписанной окружности.
Апофему МН можно найти из прямоугольного треугольника МОН.

Т.к. грань наклонена к плоскости основания под углом 45, высота пирамиды равна радиусу вписанной в правильный треугольник окружности, а апофема МН, как гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника, равна с=а√2, т.е. ОН*√2.

МО=ОН.
ОН=r=(3√3):6=(√3) / 2.
МН = (√3*√2) / 2.
Периметр правильного треугольника равен а * 3, т.е. 3 * 3 = 9 см.

Определяем площадь боковой поверхности:
Sб=9*(√3*√2) / 2):2=9*(√3*√2):4 см²

Определяем площадь полной поверхности:
Sполн=(9√3):4+(9*√3*√2):4 [m]см^2[/m].

Ответ: (9√3):4+(9*√3*√2):4