Задача 70714 Решить систему дифференциальных...
Условие
{ х' =2х+2у+2
{ у'=4у+1
х(0) = 0, y(0) =1.
Решение
{ y' = 4y + 1
x(0) = 0; y(0) = 1
Как я понимаю, x и y - это две функции от переменной t.
Я не знаю этих методов, но 2 уравнение можно просто решить.
y' - 4y = 1
Линейное неоднородное уравнение 1 порядка.
Решается заменой y(t) = u(t)*v(t); Тогда y' = u'*v + u*v';
u'*v + u*v' - 4u*v = 1
Выносим u за скобки:
u'*v + u*(v' - 4v) = 1
Скобку приравниваем к 0
v' = 4v
dv/dt = 4v
dv/v = 4 dt
Уравнение с разделенными переменными, берем интегралы:
ln |v| = 4t
v = e^(4t)
Подставляем в наше уравнение:
u'*e^(4t) + u*0 = 1
u' = e^(-4t)
Берем интеграл:
u = -1/4*e^(-4t) + C1 = -1/(4e^(4t)) + C1
Получаем:
y = u*v = (-1/(4e^(4t)) + C1)*e^(4t) = -1/4 + C1*e^(4t)
Подставляем значение y(0) = 1
1 = -1/4 + C1*e^0
1 = -1/4 + C1
C1 = 1 + 1/4 = 5/4
Окончательно:
[b]y(t) = -1/4 + 5/4*e^(4t)[/b]
Подставляем в 1 уравнение нашей системы:
x' = 2x + 2(-1/4 + 5/4*e^(4t)) + 2
x' = 2x - 1/2 + 5/2*e^(4t) + 2
x' - 2x = 3/2 + 5/2*e^(4t)
Это тоже линейное неоднородное уравнение 1 порядка.
Решается такой же заменой: x(t) = u(t)*v(t); x' = u'*v + u*v'
u'*v + u*v' - 2u*v = 3/2 + 5/2*e^(4t)
u'*v + u*(v' - 2v) = 3/2 + 5/2*e^(4t)
Приравниваем скобку к 0:
v' - 2v = 0
dv/dt = 2v
dv/v = 2 dt
ln |v| = 2t
v = e^(2t)
Подставляем в уравнение:
u'*e^(2t) + u*0 = 3/2 + 5/2*e^(4t)
u' = 3/2*e^(-2t) + 5/2*e^(2t)
Берем интеграл:
u = 3/2*1/(-2)*e^(-2t) + 5/2*1/2e^(2t) + C2
u = -3/4*e^(-2t) + 5/4**e^(2t) + C2
Получаем:
x(t) = u*v = (-3/4*e^(-2t) + 5/4*e^(2t) + C2)*e^(2t)
x(t) = -3/4 + 5/4*e^(4t) + C2*e^(2t)
Подставляем значение x(0) = 0:
0 = -3/4 + 5/4*e^0 + C2*e^0
- 3/4 + 5/4 + C2 = 0
C2 = 3/4 - 5/4 = -2/4 = -1/2
Окончательно:
[b]x(t) = -3/4 + 5/4*e^(4t) - 1/2*e^(2t)[/b]