Задача 70710 Решить дифференциальное уравнение ...
Условие
Решение
y`+p(x)*y=q(x)
p(x)=-2
q(x)=x
Решение y находим в виде произведения u*v
y=u·v
Находим
y`=u`·v+u·v`
Подставляем в уравнение:
(u`·v+u·v`)-2*u·v=x
u`·v+u(v`-2v)=x
Выбираем функцию v так,чтобы выражение в скобках равнялось нулю
(это можно сделать так как функции u и v - произвольные)
1)v`-2v=0
тогда
u`·v-u*0=x⇒
2)u`·v=x
Решаем два уравнения с разделяющимися переменными
1)
v`-2*v=0 ⇒ dv/dx=2*v ⇒ dv/v=dx ⇒ ∫ dv/v=2∫ dx
lnv=2x
v=e^(2x)
2)
u` *e^(2x)=x
du=x * e^(-2x) dx
u= ∫ x*e^(-2x)dx= интегрируем по частям:
u=x*(-(1/2)e^(-2x))- ∫ (-(1/2)*e^(-2x))dx + C
u=-(1/2)*x*e^(-2x)-(1/4) *e^(-2x) + C
y=u*v=(-(1/2)*x*e^(-2x)-(1/4) *e^(-2x) + C)*e^(2x)
О т в е т. [b]y=u*v=-(1/2)x- (1/4)+ C*e^(2x)[/b]