Задача 70686 ...

64312b2518b92150e52eb0a5

08.04.2023 11:52:47

Найдите наибольшее значение функции f(x)=32(0,5x-3)^2-(0,5x-3)^4 на отрезке [x-7]≤3

626fab9a354ab65fb2f43abb

08.04.2023 12:24:28

★

f(x) = 32(0,5x – 3)^2 - (0,5x – 3)^4 на отрезке [x – 7] ≤ 3
Сначала разберёмся, что это за отрезок.
Квадратные скобки - это целая часть числа.
Но это явная ошибка, на самом деле это модуль.
|x - 7| ≤ 3
-3 ≤ x - 7 ≤ 3
4 ≤ x ≤ 10

Находим значения функции на концах отрезка.
f(4) = 32(0,5*4 - 3)^2 - (0,5*4 - 3)^4 = 32(-1)^2 - (-1)^4 = 32*1 - 1 = 31
f(10) = 32(0,5*10 - 3)^2 - (0,5*10 - 3)^4 = 32*2^2 - 2^4 = 32*4 - 16 = 112

Ищем экстремумы, в которых f'(x) = 0
f'(x) = 32*2(0,5x - 3)*0,5 - 4(0,5x - 3)^3*0,5 = 32(0,5x - 3) - 2(0,5x - 3)^3 =
= (0,5x - 3)(32 - 2(0,5x - 3)^2) = (0,5x - 3)(32 - 2(0,25x^2 - 3x + 9) = 0
1) 0,5x - 3 = 0
x = 6; f(6) = 32(0,5*6 - 3)^2 - (0,5*6 - 3)^4 = 0
Это явная точка минимума.
2) 32 - 0,5x^2 + 6x - 18 = 0
-0,5x^2 + 6x + 14 = 0
D = 6^2 - 4(-0,5)*14 = 36 + 28 = 64 = 8^2
x1 = (-6 - 8)/(-1) = 6 + 8 = 14 > 10 - не подходит.
x2 = (-6 + 8)/(-1) = - 2 < 4 - не подходит.
Ответ: Наименьшее значение: f(6) = 0
Наибольшее значение: f(10) = 112