Задача 70668 Найти общее решение интеграла дифф....
Условие
Решение
Делим всё на x:
[m]y' + \frac{x+1}{x} \cdot y = \frac{3x}{e^{x}}[/m]
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 1 порядка.
Решается подстановкой:
y(x) = u(x)*v(x); y'(x) = u'*v + u*v'
[m]u' \cdot v + u \cdot v'+ \frac{x+1}{x} \cdot uv = \frac{3x}{e^{x}}[/m]
Выносим за скобки u:
[m]u' \cdot v + u \cdot (v' + \frac{x+1}{x} \cdot v) = \frac{3x}{e^{x}}[/m]
Скобку приравниваем к 0:
[m]v' + \frac{x+1}{x} \cdot v = 0[/m]
[m]v' = \frac{dv}{dx} = -\frac{x+1}{x} \cdot v[/m]
[m]\frac{dv}{v} = -\frac{x+1}{x}\ dx[/m]
[m]\frac{dv}{v} = - (1 + \frac{1}{x})\ dx[/m]
Уравнение с разделёнными переменными, берём интегралы:
[m]ln(v) = - (x + ln(x)) = - ln (x \cdot e^x)[/m]
[m]v = \frac{1}{x \cdot e^{x}}[/m]
Подставляем в наше уравнение:
[m]u' \cdot \frac{1}{x \cdot e^{x}} + u \cdot 0 = \frac{3x}{e^{x}}[/m]
[m]\frac{du}{dx} \cdot \frac{1}{xe^{x}} = \frac{3x}{e^{x}}[/m]
[m]\frac{du}{dx} = xe^{x} \cdot \frac{3x}{e^{x}}[/m]
[m]\frac{du}{dx} = 3x^2[/m]
Здесь прямое интегрирование:
[m]u = x^3 + C[/m]
Обратная замена:
[m]y(x) = u(x) \cdot v(x) = (x^3 + C) \cdot \frac{1}{x \cdot e^{x}} = \frac{x^3 + C}{x \cdot e^{x}}[/m]
Теперь решаем задачу Коши. y(1) = 0
[m]y(1) = \frac{1^3 + C}{1\cdot e^1} = \frac{1 + C}{e} = 0[/m]
C = -1
Ответ: [m]y(x) = \frac{x^3 - 1}{xe^{x}}[/m]