Задача 70650 Даны четыре точки: М1,M2,M3,M0....

642ef8c137bdee6665f1b6e7

06.04.2023 21:22:11

Даны четыре точки: М1,M2,M3,M0. Требуется: 1) написать уравнение плоскости P, проходящей через точки M1,M2 и M3; 2) преобразовать полученное уравнение плоскости P в уравнение плоскости в отрезках и построить её; 3) найти расстояние d(M0,P) от точки M0 до плоскости P. M1 (1,3,0); M2 (4,-1,2); M3 (3,0,1); M0 (4,3,0).

626fab9a354ab65fb2f43abb

07.04.2023 00:17:43

★

M1 (1,3,0); M2 (4,–1,2); M3 (3,0,1); M0 (4,3,0).
Уравнение плоскости P = (M1M2M3)
[m]\begin{vmatrix}
x-1 & y-3 & z-0 \\
4-1 & -1-3 & 2-0 \\
3-1 & 0-3 & 1-0 \\
\end{vmatrix}=0[/m]

[m]\begin{vmatrix}
x-1 & y-3 & z \\
3 & -4 & 2 \\
2 & -3 & 1 \\
\end{vmatrix}=0[/m]
(x-1)(-4)*1 + (y-3)*2*2 + z*3(-3) - (x-1)*2(-3) - (y-3)*3*1 - z*2(-4) = 0
-4(x-1) + 4(y-3) - 9z + 6(x-1) + 3(y-3) + 8z = 0
2(x-1) + 7(y-3) - z = 0
1) P : 2x + 7y - z - 23 = 0

Уравнение плоскости в отрезках выглядит так:
x/a + y/b + z/c = 1
Здесь a, b, c - это отрезки, отсекаемые плоскостью на осях.
В нашем случае:
2x + 7y - z = 23
2) [m]\frac{x}{23/2} + \frac{y}{23/7} + \frac{z}{-23} = 1[/m]

3) Расстояние от точки M0(x0; y0; z0) до плоскости P:
Ax + By + Cz + D = 0
Можно найти по формуле:
[m]d(M0; P) = \frac{Ax0 + By0 + Cz0 + D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}[/m]
В нашем случае: P : 2x + 7y - z - 23 = 0; M0 (4,3,0).
[m]d(M0; P) = \frac{2 \cdot 4 + 7 \cdot 3 + (-1) \cdot 0 - 23}{\sqrt{2^2+7^2+(-1)^2}} = \frac{8 + 21 + 0 - 23}{\sqrt{4+49+1}} = \frac{6}{\sqrt{54}} = \frac{6 \cdot 3\sqrt{6}}{54} = \frac{\sqrt{6}}{3}[/m]
Ответ: d(M0; P) = sqrt(6)/3