Задача 70649 Вычислить объем треугольной пирамиды с...

642ef8c137bdee6665f1b6e7

06.04.2023 21:10:44

Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами в точках A,B,C,D. A(1,2,0);B(3,0,-3);C(5,2,6);D(8,4,-9). Ответ V=34.

626fab9a354ab65fb2f43abb

07.04.2023 00:31:57

★

A(1; 2; 0); B(3; 0; –3); C(5; 2; 6); D(8; 4; –9)
Построим пирамиду на векторах (AB), (AC), (AD)
(AB) = (3-1; 0-2; -3-0) = (2; -2; -3)
(AC) = (5-1; 2-2; 6-0) = (4; 0; 6)
(AD) = (8-1; 4-2; -9-0) = (7; 2; -9)
Объем пирамиды можно посчитать по формуле:
[m]V=\frac{1}{6} \cdot \begin{vmatrix}
X1 & Y1 & Z1 \\
X2 & Y2 & Z2 \\
X3 & Y3 & Z3 \\
\end{vmatrix} = \frac{1}{6} \cdot \begin{vmatrix}
2 & -2 & -3 \\
4 & 0 & 6 \\
7 & 2 & -9 \\
\end{vmatrix} =[/m]
= 1/6*|2*0*(-9)+4*2(-3)+7*6(-2)-7*0(-3)-2*2*6-4(-2)(-9)| =
= 1/6*|0 - 24 - 84 - 0 - 24 - 72| = 1/6*204 = 34
Определитель оказался отрицательным, поэтому мы взяли от него модуль.
Потому что объем - это всегда положительное число.
Ответ: V = 34