Задача 70647 Вычислить площадь треугольника с...

642ef8c137bdee6665f1b6e7

06.04.2023 20:28:55

Вычислить площадь треугольника с вершинами в точках A,B,C. A(1,3,6); B(2,2,1); C(-1,0,1). Ответ S=9,354.

626fab9a354ab65fb2f43abb

07.04.2023 01:01:50

★

A(1; 3; 6); B(2; 2; 1); C(–1; 0; 1).
Площадь треугольника можно найти по формуле:
[m]S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(XY)^2 + (XZ)^2 + (YZ)^2}[/m]
Здесь (XY), (XZ), (YZ) - это определители:
[m](XY) = \begin{vmatrix}
1 & x1 & y1 \\
1 & x2 & y2 \\
1 & x3 & y3 \\
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 3 \\
1 & 2 & 2 \\
1 & -1 & 0 \\
\end{vmatrix} = [/m]
= 1*2*0 + 3*1(-1) + 1*1*2 - 1*2*3 - 1*1*0 - 1*2(-1) = -5
[m](XZ) = \begin{vmatrix}
1 & x1 & z1 \\
1 & x2 & z2 \\
1 & x3 & z3 \\
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 6 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & -1 & 1 \\
\end{vmatrix} =[/m]
= 1*2*1 + 6*1(-1) + 1*1*1 - 1*2*6 - 1*1(-1) - 1*1*1 = -15
[m](YZ) = \begin{vmatrix}
1 & y1 & z1 \\
1 & y2 & z2 \\
1 & y3 & z3 \\
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
1 & 3 & 6 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
\end{vmatrix} =[/m]
= 1*2*1 + 6*1*0 + 1*3*1 - 1*2*6 - 1*1*0 - 1*1*3 = -10
Площадь треугольника:
[m]S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(-5)^2 + (-15)^2 + (-10)^2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{25+225+100} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{350} ≈ \frac{1}{2} \cdot 18,708 = 9,354[/m]
Ответ: S = 9,354