Задача 70608 Исследование функции и построение...
Условие
1. y=x+xlnx
Решение
(0;+∞)
2. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как
область определения не является симметричной относительно 0.
3. Точки пересечения с осью Ох
y=0 ⇒ x+xlnx=0⇒x*(1+lnx)=0
x=0 или lnx+1=0 ⇒ x=e^(-1);
x=0 ∉ (0;+∞)
(1/e ;0)– точка пересечения и осью Ох
4.
Вертикальных асимптот нет
Горизонтальных асимптот нет:
так как
lim_(x→∞)f(x)=lim_(x→∞)(x+xlnx)= +∞
Наклонной асимптоты нет:
=lim_(x→∞)f(x)/x=lim_(x→∞)(x+xlnx)/x=lim_(x→∞)(1+lnx=+ ∞
5.Интервалы монотонности и экстремумы
y`=(x+lnx)`=(x)`+(x*lnx)`=(x)`+(x)`*lnx+x*(lnx)`=1+lnx+x*(1/x)=1+lnx+1=lnx+2
y`=0
lnx+2=0
x=e^(-2)
Расставляем знак производной:
(0) _-__ (e^(-2)) __+__
x=e^(-2) - точка минимума, производная меняет знак с - на +
y`<0 при 0 < x < e^(-2) ⇒ Функция убывает на (0;e^(-2))
y`>0 при x > e^(-2) ⇒ Функция возрастает на ((e^(-2);+ ∞)
6.
Интервалы выпуклости, точки перегиба
y``=(y`)`=(lnx+2)`=(lnx)`+(2)`=(1/x)+0=(1/x)
y``> 0 при любом х из области определения
Кривая выпукла вниз на (0;+ ∞)
Точек перегиба нет