Задача 70607 Исследование функции и построение...
Условие
y= (2+x)/(x+1)^2
Решение
[b](- ∞ ;-1) U(-1;+ ∞ )[/b]
Область определения не симметрична относительно 0
Значит функция не является ни четной, ни нечетной
x= -1 - вертикальная асимптота, так как
lim_(x → [b]-1[/b])f(x)=[b] 1/0=∞[/b]
y=0 - горизонтальная асимптота , так как
lim_(x → ∞ )f(x)=lim_(x → ∞ )[m]\frac{2+x}{(x+1)^2}[/m]=lim_(x → ∞ )[m]\frac{x^2(\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x}}{x^2(frac{1+1}{x})^2}=\frac{0}{1]}=[/m] [b]0[/b]
Исследование с помощью первой производной
y`=[m](\frac{2+x}{(x+1)^2})`=\frac{(2+x)`\cdot (x+1)^2-(2+x)\cdot ((x+1)^2)`}{((x+1)^2)^2}[/m]
y`=[m]\frac{1\cdot (x+1)^2-(2+x)\cdot (2(x+1))}{(x+1)^4}[/m]
Выносим в числителе (х+1) за скобки и сокращаем со знаменателем
y`=[m]\frac{1\cdot (x+1)-(2+x)\cdot (2)}{(x+1)^3}[/m]
y`=[m]\frac{x+1-4-2x}{(x+1)^3}[/m]
y`=[m]\frac{(-x-3)}{(x+1)^3}[/m]
y`=[m]-\frac{x+3}{(x+1)^3}[/m]
y`=0
____-__ (-3) _____+___ (-1) ___-____
Функция монотонно [i]убывает [/i]
на (- ∞ ;-3) и на (-1;+ ∞ )
Функция монотонно [i]возрастает [/i]
на (- 3 ;-1)
x=-3 - точка минимума , производная меняет знак с - на +
y``=(y`)`=[m](-\frac{x+3}{(x+1)^3})`=\frac{(x+3)`\cdot (x+1)^3-(x+3)\cdot ((x+1)^3)`}{((x+1)^3)^2}[/m]
y`=[m]-\frac{1\cdot (x+1)^2-(2+x)\cdot (3(x+1)^2)}{(x+1)^6}[/m]
Выносим в числителе (х+1)^2 за скобки и сокращаем со знаменателем
y`=[m]-\frac{1\cdot (x+1)-(x+3)\cdot (3)}{(x+1)^4}[/m]
y`=[m]-\frac{x+1-3x-9}{(x+1)^4}[/m]
y`=[m]\frac{2x+8}{(x+1)^4}[/m]
x= -4 [i] точка перегиба.[/i]
