Задача 70594 ...
Условие
Решение
1) Находим значения на концах отрезка:
[m]y(0,5) = \sqrt[3]{0,5-(0,5)^3} ≈ 0,721[/m]
[m]y(2) = \sqrt[3]{2-2^3} ≈ -1,817[/m]
2) Находим точки экстремума, в которых y' = 0
[m]y(x) = (x - x^3)^{1/3}[/m]
[m]y'(x)=\frac{1}{3} \cdot (x - x^3)^{-2/3} \cdot (1 - 3x^2) = \frac{1 - 3x^2}{3(x - x^3)^{2/3}} = 0[/m]
1 - 3x^2 = 0
(1 - x*sqrt(3))(1 + x*sqrt(3)) = 0
x1 = -1/sqrt(3) < 0,5 - не подходит.
x2 = 1/sqrt(3) = sqrt(3)/3 ≈ 1,732/3 = 0,577 ∈ [0,5; 2] - подходит.
[m]y(x2) = (\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{3\sqrt{3}}{27})^{1/3} ≈ 0,727[/m]
Наибольшее значение: y(1/sqrt(3)) ≈ 0,727
Наименьшее значение: y(2) ≈ -1,817
График на рисунке. Границы промежутка показаны линиями.
На графике виден и второй экстремум, который не вошел в промежуток.