Задача 70593 Решите неравенство. 4^(x^2) * 3^(x+1)...

6409d7c1438f4e0b023ae341

04.04.2023 14:03:16

Решите неравенство.

4^(x^2) * 3^(x+1) >= 4

626fab9a354ab65fb2f43abb

04.04.2023 14:42:11

★

[m]4^{x^2} \cdot 3^{x+1} ≥ 4[/m]
Делим всё неравенство на 4 > 0, знак неравенства остается.
[m]4^{x^2 -1} \cdot 3^{x+1} ≥ 1[/m]
Разложим на скобки разность квадратов:
[m]4^{(x-1)(x+1)} \cdot 3^{x+1} ≥ 1[/m]
Произведение показателей - это степень от степени:
[m](4^{x-1})^{x+1} \cdot 3^{x+1} ≥ 1[/m]
Так как показатели степени одинаковы, перемножаем основания:
[m](4^{x-1} \cdot 3)^{x+1} ≥ 1[/m]
Так как степень числа ≥ 1, то возможны два случая:

1) Основание ≥ 1, показатель ≥ 0
{ 3*4^(x - 1) ≥ 1
{ x + 1 ≥ 0
Решаем:
{ 4^(x - 1) ≥ 1/3
{ x ≥ -1
Получаем:
{ x ≥ log_4(1/3) + 1 = 1 - log_4(3)
{ x ≥ -1
Заметим, что:
1 - log_4(3) ≈ 1 - 0,8 = 0,2 > -1, поэтому:
[b]x ∈ [1 - log_4(3); +oo)[/b]

2) Основание ≤ 1, показатель ≤ 0
{ 3*4^(x - 1) ≤ 1
{ x + 1 ≤ 0
Решаем:
{ 4^(x - 1) ≤ 1/3
{ x ≤ -1
Получаем:
{ x ≤ log_4(1/3) + 1 = 1 - log_4(3)
{ x ≤ -1
Заметим, что:
1 - log_4(3) ≈ 1 - 0,8 = 0,2 > -1, поэтому:
[b]x ∈ (-oo; -1][/b]

Ответ: x ∈ (-oo; -1] U [1 - log_4(3); +oo)