Задача 70558 Записать уравнение кривых, для которых...

64245bb2a723be362c4d88a7

03.04.2023 11:30:52

Записать уравнение кривых, для которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу равную 2/3 абсциссы точки касания.

626fab9a354ab65fb2f43abb

03.04.2023 12:29:12

★

Уравнение кривой в общем виде:
y = y(x)
Уравнение касательной к кривой:
f(x) = y(x0) + y'(x0)*(x - x0)
f(x) = y'(x0)*x + (y(x0) - y'(x0)*x0)
Здесь M0(x0; y0) - это точка касания.
Точка пересечения касательной с осью абсцисс: M1(x1; 0)
Найдем x1:
0 = y'(x0)*x1 + (y(x0) - y'(x0)*x0)
y'(x0)*x1 = y'(x0)*x0 - y(x0)
x1 = (y'(x0)*x0 - y(x0)) / y'(x0)
x1 = x0 - y(x0) / y'(x0)
И по условию x1 = 2/3*x0
2/3*x0 = x0 - y(x0) / y'(x0)
y(x0) / y'(x0) = x0/3
По правилу пропорции:
y'(x0) = 3*y(x0)/x0
То есть при взятии производной от функции y(x) у нас вперед выносится коэффициент 3 и степень уменьшается на 1 (делим на x0).
Очевидно, это функция:
y(x) = Cx^3
y'(x) = 3Cx^2 = 3*(Cx^3)/x