Задача 70526 ...
Условие
∫ df ∫ sqrt(1 + p^2) * pdp
Решение
так как [m] d(1+ ρ ^2)=(1+ ρ ^2)`\cdot d ρ [/m] ⇒ [m] d(1+ ρ ^2)=2ρ \cdot d ρ [/m] ⇒
[m] ρ \cdot d ρ =\frac{1}{2}d(1+ ρ^2) [/m]
[m]= ∫^{2π} _{0}d φ( ∫^{a} _{0}\sqrt{1+ ρ ^2}\cdot \frac{1}{2}d(1+ ρ ^2))= ∫^{2π} _{0}d φ( \frac{1}{2}∫^{a} _{0}(1+ ρ ^2)^{\frac{1}{2}}d(1+ ρ ^2))=[/m]
По формуле ( см. скрин)
[m]= ∫^{2π} _{0}d φ( \frac{1}{2}∫^{a} _{0}(1+ ρ ^2)^{\frac{1}{2}}d(1+ ρ ^2))= ∫^{2π} _{0}d φ(\frac{1}{2}\cdot \frac{(1+ ρ^2)^{\frac{1}{2}+1} }{\frac{1}{2}+1})|^{a} _{0}=∫^{2π} _{0}d φ(\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot (1+ ρ^2)^{\frac{3}{2}}|^{a}_{0}=\frac{1}{3}(1+a^2)^{\frac{3}{2}} ( φ)|^{2π} _{0}=\frac{2}{3}π \sqrt{(1+a^2)^3}[/m]