Задача 70499 ...

64257a7e1d8ddb3fa9a3b82e

30.03.2023 19:58:14

л) В цилиндре проведена плоскость, параллельная его
оси, которая отсекает от окружности основания дугу в 60°.
Расстояние от оси цилиндра до диагонали полученного
сечения равно 1. Площадь сечения равна 2√3. Найдите объем
цилиндра.

626fab9a354ab65fb2f43abb

30.03.2023 21:49:18

★

Смотрите рисунок.
ABB1A1 - сечение, параллельное оси цилиндра - прямоугольник.
Треугольник AOB - равнобедренный, потому что OA = OB = R см.
Расстояние от оси цилиндра до диагонали сечения равно 1.
Это значит, что расстояние от оси цилиндра до оси сечения:
OM = O1M1 = O2M2 = 1 см
Угол AOB = 60°, это значит, что треугольник AOB - не только равнобедренный, но и равносторонний.
OA = OB = AB = R см
В этом равностороннем треугольнике высота, она же медиана и биссектриса:
OM = a*sqrt(3)/2 = R*sqrt(3)/2 = 1 см
R = 2/sqrt(3) см
Высота сечения равна высоте цилиндра: AA1 = OO1 = H см.
Площадь сечения:
S = AB*AA1 = R*H = 2*sqrt(3) см^2
Объем цилиндра:
V = π*R^2*H = π*R*(R*H) = π*2/sqrt(3)*2*sqrt(3) = 4π см^3
Ответ: V = 4π см^3