Задача 70488 Вычислить объем тела, ограниченного...
Условие
Решение
D- проекция тела на плоскость хОу
Чтобы найти область D решаем систему:
[m]\left\{\begin {matrix}z^2=x^2+y^2\\z=4-x^2-y^2\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}z^2=x^2+y^2\\z=4-z^2\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}z^2=x^2+y^2\\z^2+z-4=0\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}z^2=x^2+y^2\\z=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}\end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}z^2=x^2+y^2\\z=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\end {matrix}\right.[/m]
в первом случае тело неограниченно снизу, во втором случае тело ограничено ( точкой (0;0;0))
[m]\left\{\begin {matrix}z^2=x^2+y^2\\z=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\end {matrix}\right.[/m]
Линия пересечения тел находится на уровне [m]z=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}[/m]
и задается уравнением
[m]\frac{-1+\sqrt{17}}{2}=4-x^2-y^2[/m]
Это уравнение окружности
[m]x^2+y^2=4-\frac{-1+\sqrt{17}}{2}[/m]
[m]x^2+y^2=\frac{9-\sqrt{17}}{2}[/m]
Проекция этой окружности на плоскость хОу ограничивает область D- круг.
Вводим полярные координаты
x= ρ cos θ
y= ρ sin θ
0 ≤ ρ ≤[m] \sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{2}}[/m]
0 ≤ θ ≤ 2π
[m]V= ∫ ∫ _{D}(4- ρ^2 - ρ ) ρ d ρ d θ= ∫^{2π}_{0}d θ ∫^{\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{2}}}_{0}(4 ρ - ρ^3- ρ^2)d ρ =[/m]
внутренний интеграл не зависит от θ поэтому внешний можно тоже вычислить
[m]=( θ)|^{ 2π}_{0} (4\cdot \frac{ ρ ^2}{2}-\frac{ ρ ^4}{4}-\frac{ ρ ^3}{3})|^{\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{2}}}_{0}=[/m]
[m]=2π\cdot (2(\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{2}})^2-\frac{1}{4}(\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{2}})^4-\frac{1}{3}(\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{2}})^3)=[/m]
считайте....
может быть опечатка в условии и
z=x^2+y^2
Тогда проекция на область D
окружность
x^2+y^2=4-x^2-y^2
2(x^2+y^2)=4
x^2+y^2=2
0 ≤ ρ ≤ [b]sqrt(2)[/b]
