Задача 70464 1) Второй член геометрической прогрессии...

6321aa634e8ea7719845244e

29.03.2023 14:24:51

1) Второй член геометрической прогрессии b2=10, а ее q=2 знаменатель . Найдите первый член этой прогрессии:

2) Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 3, а сумма квадратов первых трех членов этой прогрессии равна 21. Найти первые три члена и знаменатель этой прогрессии.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

29.03.2023 14:48:55

★

1.

b_(2)=b_(1)*q

10=b_(1)*2

b_(1)=10/2

b_(1)=5


2.
b_(1);
b_(2)=b_(1)*q
b_(3)=b_(1)*q^2

b_(1)+b_(2)+b_(3)=b_(1)+b_(1)*q+b_(1)*q^2=b_(1)*(1+q+q^2)

b_(1)+b_(2)+b_(3) = 3 ⇒[b] b_(1)*(1+q+q^2)=3[/b]

b^2_(1)+b^2_(2)+b^2_(3) =b^2_(1)+(b_(1)*q)^2+(b_(1)*q^2)^2=b^2_(1)*(1+q^2+q^4)
b^2_(1)+b^2_(2)+b^2_(3) =21 ⇒ [b]b^2_(1)*(1+q^2+q^4)=21[/b]


Решаем систему уравнений:
{ [b] b_(1)*(1+q+q^2)=3[/b]
{[b]b^2_(1)*(1+q^2+q^4)=21[/b]

Разложим на множители:
1+q^2+q^4
Для этого прибавим и вычтем q^2
1+2q^2+q^4-q^2=
=(q^2+1)^2-q^2=(q^2-q+1)(q^2+q+1)

{ [b]b_(1)*(1+q+q^2)=3[/b]
{[b]b^2_(1)**(q^2-q+1)(q^2+q+1)=21[/b]

{ [b]b_(1)*(1+q+q^2)=3[/b]
{[b]и_(1)*(q^2-q+1)*b_(1)*(q^2+q+1)=364[/b]

Заменим во второй строчке b_(1)*(1+q+q^2) на 3

{ [b]b_(1)*(1+q+q^2)=3[/b]
{[b]b_(1)*(q^2-q+1)*b_(1)*(q^2+q+1)=364[/b]

{ [b]b_(1)*(1+q+q^2)=3[/b]
{[b]b_(1)*(q^2-q+1)*3=21[/b]

{ [b]b_(1)*(1+q+q^2)=3[/b]
{[b]b_(1)*(1-q+q^2)=7[/b]

Вычитаем из первого второе:

2b_(1)q=-4

b_(1)q=-2

[b]b_(2)=-2[/b]