Задача 70460 ...
Условие
Решение
ограничена полосой:
[m]y=0[/m]
[m]y=5[/m]
параллельной [i]горизонту[/i]
[m]x=-\sqrt{5y}[/m] - линия входа в область
[m]x=\sqrt{5y-y^2}[/m]- линия выхода из области
Как область вертикального вида
состоит из двух частей
D_(1):
-5 ≤ x ≤ 0
[m]x=-\sqrt{5y}[/m] ⇒ [m]x^2=5y[/m] ⇒ [m]y=\frac{1}{5}x^2[/m]- линия входа в область
[m]y=5[/m]-линия выхода из области
[m]\frac{1}{5}x^2 ≤ y ≤ 5[/m]
D_(2):
0 ≤ x ≤ [m]\frac{5}{2}[/m]
[m]x=\sqrt{5y-y^2}[/m] ⇒ [m]x^2=5y-y^2[/m] ⇒ [m]x^2+y^2-5y=0[/m] выделяем полный квадрат
[m]x^2+(y-\frac{5}{2})^2=(\frac{5}{2})^2[/m] - окружность с центром [m](0;\frac{5}{2})[/m] [m] R=\frac{5}{2}[/m]
⇒
[m](y-\frac{5}{2})^2=(\frac{5}{2})^2-x^2[/m]
[m]y-\frac{5}{2}= ± \sqrt{\frac{5}{2})^2-x^2}[/m]
[m]y=\frac{5}{2}- \sqrt{\frac{5}{2})^2-x^2}[/m] - линия входа в область
[m]y=\frac{5}{2}+ \sqrt{\frac{5}{2})^2-x^2}[/m] - линия выхода из области
Итак,
[m] ∫^{5} _{0} (∫^{\sqrt{5y-y^2}} _{-\sqrt{5y}}f(x;y)dx)dy=∫^{-5} _{0} (∫^{5} _{\frac{1}{5}x^2}f(x;y)dy)dx+∫^{\frac{5}{2}} _{0} (∫^{\frac{5}{2}+ \sqrt{\frac{5}{2})^2-x^2}} _{\frac{5}{2}- \sqrt{\frac{5}{2})^2-x^2}}f(x;y)dy)dx[/m]