Задача 70450 Найти общее решение дифференциального...

63a8545246ce692afe75a7c4

28.03.2023 20:44:57

Найти общее решение дифференциального уравнения

(x^2-y^2)y' = 2xy

5f3ea7e3faf909182968ddd9

28.03.2023 23:08:32

★

Разделим обе части уравнения на [m]x^2-y^2[/m]

Уравнение принимает вид: [m]y`= \frac{2xy}{x^2-y^2}[/m]

Делим и числитель и знаменатель на [m]x^2[/m]

[m]y`= \frac{2\frac{y}{x}}{1-(\frac{y}{x})^2})[/m]


Это однородное уравнение первого порядка.

Замена:

[m]\frac{y}{x}=u[/m] ⇒[m] y=x\cdot u[/m]

[m]y`=x`\cdot u+xcdot u`[/m]

x`=1

[m]y`=u+x\cdot u`[/m]

[m]u+x\cdot u`= \frac{2u}{1-u^2}[/m] - уравнение с разделяющимися переменными

[m]x\cdot u`= \frac{2u}{1-u^2}-u[/m]

[m]x\cdot u`= \frac{u^3+u}{1-u^2}[/m]

[m]x\cdot u`= \frac{u(u^2+1)}{1-u^2}[/m]

[m]\frac{1-u^2}{u(u^2+1)}du=\frac{dx}{x}[/m]

Интегрируем:

[m] ∫\frac{1-u^2}{u(u^2+1)}du= ∫ \frac{dx}{x}[/m]

Раскладываем дробь на простейшие методом неопределенных коэффициентов

[m] \frac{1-u^2}{u(u^2+1)}= \frac{A}{u}+ \frac{Mu+N}{u^2+1}[/m]

[m] 1-u^2=A(u^2+1)+(Mu+N)\cdot u[/m]

[m]A+M=-1[/m
[m]A=1[/m]
[m]N=0[/m]

[m] ∫\frac{1}{u}du-∫\frac{2u}{u^2+1}= ∫ \frac{dx}{x}[/m]


[m]ln|u|-ln|u^2+1|=ln|x|+lnC[/m]

[m]ln|\frac{u}{u^2+1}|=ln|Cx|[/m] ⇒

[m]\frac{u}{u^2+1}=Cx[/m] ⇒

[m]\frac{\frac{y}{x}}{(\frac{y}{x})^2+1}=Cx[/m] - общее решение дифференциального уравнения