Задача 70449 Найти наибольшее и наименьшее значение...

63f1da845366203118ec70c4

28.03.2023 20:06:50

Найти наибольшее и наименьшее значение функции y = x^5 - 5x^3/2 + 2 на отрезке [0; 2]

5f3eaa23faf909182968dde0

28.03.2023 21:48:30

★

f(x)=x^(5)-(5/2)*x^(3)+2,
D(f)=R,
f'(x)=5x^(4)-(15/2)x^(2),
f'(x) существует на D(f),
f'(x)=0:
5x^(4)-(15/2)x^(2)=0,
10x^(4)-15x^(2)=0,
2x^(4)-3x^(2)=0,
x^(2)(2x^(2)-3)=0,
x^(2)=0 или 2x^(2)-3=0,
x=0, или x^(2)=3/2,
x=0 или x= ± (sqrt(3/2)).
Отрезку [0;2] принадлежит критическая точка x=sqrt(3/2).
Вычислим значения функции на концах заданного отрезка и в найденной критической точке и выберем их них наибольшее и наименьшее:
f(0)=0^(5)-(5/2)*0^(3)+2=2,
f(sqrt(3/2))=(sqrt(3/2))^(5)-(5/2)*(sqrt(3/2))^(3)+2=(9/4)*sqrt(3/2)-(5/2)*(3/2)*sqrt(3/2)+2=
=(9/4)sqrt(3/2)-(15/4)sqrt(3/2)+2=2-(3/2)sqrt(3/2),
f(2)=2^(5)-(5/2)*2^(3)+2=32-20+2=14,

f_(наиб.)=f(2)=14,
f_(наим.)=f(sqrt(3/2))=2-(3/2)*sqrt(3/2).