Задача 70431 В кубе ABCDA,B,C,D, с ребром 12...
Условие
Решение
a)
[b]Нахождение углов между прямыми[/b]
Проводим плоскость PMKF параллельно плоскостям АА_(1)D_(1)D и ВВ_(1)С_(1)С
FB^2=BC^2+CF^2=12^2+6^2=144+36=180
FB=sqrt(180)=6sqrt(5)
MF^2=MP^2+PF^2=12^2+12^2=144+144=288
MF=sqrt(288)=12sqrt(2)
BD_(1)=sqrt(12^2+12^2+12^2)=12sqrt(3)
∠ FOB между прямыми BD_(1) и МF равен углу между прямыми BD_(1) и A_(1)D ( A_(1)D||MF)
Находим из треугольника FOB по теореме косинусов
FO=(1/2)MF=(1/2)*12sqrt(2)=6sqrt(2)
OB=(1/2)BD_(1)=6sqrt(3)
FB=6sqrt(5)
FB^2=FO^2+OB^2-2*FO*OB*cos∠ FOB
cos∠ FOB=(FO^2+OB^2-FB^2)/(2*FO*OB)
cos∠ FOB=(72+108-180)/(2*6sqrt(2)*6*sqrt(3))=0
∠ FOB=90 °
Находим[b] расстояние между[/b] прямыми.
Проводим в плоскости грани BB_(1)C_(1)C и ее продолжения прямую BM_(1), параллельную A_(1)D
Через две прямые BM_(1) и BD_(1) проводим плоскость ( розового цвета)
ΔВM_(1)D_(1)- [b]прямоугольный[/b]
D_(1)M_(1)=sqrt((1+1)^2+1^2)=sqrt(5)
BM_(1)=sqrt(2)
BD_(1)=sqrt(3)
[b](sqrt(3))^2+(sqrt(2))^2=(sqrt(5))^2[/b]- верно.
FK - средняя линия треугольника
FK=(1/2)BM_(1)=sqrt(2)/2
Тогда расстояние между прямой A_(1)D и плоскостью ВM_(1)D_(1)- высота трапеции A_(1)FKB
Это прямоугольная трапеция
Высота трапеции A_(1)F ⊥ A_(1)D
A_(1)F=(1/2)
О т в е т. Расстояние равно [b](1/2)[/b]
б)
A_(1)В||CD_(1)
∠ A_(1)ВC_(1) - угол между A_(1)В и ВС_(1) равен углу между CD_(1)и ВС_(1)
Треугольник A_(1)BC_(1)- равносторонний ( его стороны диагонали квадратов со стороной 12)
∠ A_(1)ВC_(1) =60 °
