Задача 70429 Даны точки А(-6,4) В(-2,-8). На оси...

638f1431d81055217137395d

28.03.2023 08:09:13

Даны точки А(-6,4) В(-2,-8). На оси абсцисс найдите точку М такую, чтобы АМ и ВМ были перпендикулярны. Найдите уравнения прямых АМ, ВМ

5f3eaa23faf909182968dde0

28.03.2023 09:04:44

★

А(-6;4), В(-2;-8). Так как М лежит на оси абсцисс, то М(х;0).
Найдем направляющие векторы прямых АМ и ВМ:
АМ^(→) ={x-(-6); 0-4}={х+6; -4},
ВМ^(→) ={x-(-2); 0-(-8)}=(x+2; 8}.
Так как прямые АМ и ВМ перпендикулярны, то скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю:
АМ^(→)*ВМ^(→)=0,
(х+6)*(х+2)+(-4)*8=0,
х^(2)+8x-20=0,
D=64+80=144=12^(2),
x=(-8 ± 12)/2,
x_(1)=-10, x_(2)=2.
Значит, таких точек М будет две:
М_(1) (-10;0), М_(2) (2;0).

Составим уравнения прямых АМ и ВМ,
1) Если прямые проходят через точку М_(1) (-10;0):
АМ_(2) ^(→) ={-4; -4},
ВМ_(2) ^(→) =(-8; 8}.

Прямая АМ_(1):
(х+6)/(-4)=(у-4)/(-4),
х+6=у-4,
х-у+10=0.

Прямая ВМ_(1):
(х+2)/(-8)=(у+8)/8,
х+2=-(у+8),
х+у+10=0.

2) Если прямые проходят через точку М_(2) (2;0):
АМ_(1) ^(→) ={8; -4},
ВМ_(1) ^(→) =(4; 8}.

Прямая АМ_(2):
(х+6)/8=(у-4)/(-4),
х+6=-2(у-4),
х+2у-2=0.

Прямая ВМ_(2):
(х+2)/4=(у+8)/8,
2(х+2)=у+8,
2х-у-4=0.