Задача 70424 На рисунке изображен прямоугольник,...

6421f95627fa5c115d26de39

27.03.2023 23:17:41

На рисунке изображен прямоугольник, составленный; из трёх квадратов. Площадь каждого серого квадрата 25 см^2. Этот прям угольник вписан в белый прямоугольник большего размера. Две вершины серого прямоугольника касаются середин более коротких сторон белого прямоугольника, а две другие вершины серого прямоугольника лежат на более длинных сторонах белого прямоугольника. Чему равна площадь белого прямоугольника?

626fab9a354ab65fb2f43abb

28.03.2023 10:36:19

★

Длина белого прямоугольника а, ширина b.
Серые квадраты - 5х5, значит серый прямоугольник 15х5.
Его площадь S(пр) = 5*15 = 75 см^2
Теперь рассмотрим белые треугольники.
Маленький имеет катеты b/2 и x, а гипотенузу 5.
Большой имеет катеты b/2 и (a-x), а гипотенузу 15.
Очевидно, маленькие треугольники одинаковы, как и большие.
Но углы наклона сторон белого прямоугольника к сторонам серого - одинаковы, а это значит, что маленький и большой треугольники подобны.
И коэффициент подобия равен 15:5 = 3.
По теореме Пифагора:
{ (b/2)^2 + x^2 = 5^2
{ (b/2)^2 + (a-x)^2 = 15^2
{ (b/2) : x = 3
Подставляем:
{ b = 6x
{ (3x)^2 + x^2 = 25
{ (3x)^2 + a^2 - 2ax + x^2 = 225
Приводим подобные:
{ b = 6x
{ 10x^2 = 25
{ a^2 - 2ax = 200
Решаем:
{ x = sqrt(2,5)
{ b = 6sqrt(2,5)
{ a^2 - 2sqrt(2,5)*a - 200 = 0
Осталось решить последнее квадратное уравнение и найти а:
D = (2sqrt(2,5))^2 - 4*1(-200) = 4*2,5 + 800 = 810 = (18sqrt(2,5))^2
a1 = (2sqrt(2,5) - 18sqrt(2,5))/2 < 0 - не подходит.
a2 = (2sqrt(2,5) + 18sqrt(2,5))/2 = 10sqrt(2,5)
А потом находим площадь белого прямоугольника:
S = a*b = 10sqrt(2,5)*6sqrt(2,5) = 60*2,5 = 150 см^2
Ответ: Г) 150 см^2