Задача 70419 ...
Условие
б) ∫ dx/x^3+x^2+2x+2
Решение
[m]∫ (x^2+1)3^{x} dx=[/m]
по частям
[m]u=x^2+1[/m] ⇒ [m]du=(x^2+1)`dx=2xdx[/m]
[m]dv=3^{x} dx=[/m] ⇒ [m]v= ∫ dv= ∫3^{x} dx=\frac{3^{x}}{ln3}[/m]
тогда
[m]∫ (x^2+1)3^{x} dx=(x^2+1)\cdot \frac{3^{x}}{ln3}- ∫ \frac{3^{x}}{ln3}\cdot 2xdx =(x^2+1)\cdot \frac{3^{x}}{ln3}-\frac{2}{ln3} ∫ x\cdot 3^{x}dx=[/m]
по частям
[m]u=x[/m] ⇒ [m]du=(x)`dx=1\cdot dx=dx[/m]
[m]dv=3^{x} dx=[/m] ⇒ [m]v= ∫ dv= ∫3^{x} dx=\frac{3^{x}}{ln3}[/m]
тогда
[m]∫ (x^2+1)3^{x} dx=(x^2+1)\cdot \frac{3^{x}}{ln3}- ∫ \frac{3^{x}}{ln3}\cdot 2xdx =(x^2+1)\cdot \frac{3^{x}}{ln3}-\frac{2}{ln3} ∫ x\cdot 3^{x}dx=[/m]
[m]=(x^2+1)\cdot \frac{3^{x}}{ln3}-\frac{2}{ln3} (x\cdot \frac{3^{x}}{ln3}- ∫ \frac{3^{x}}{ln3}dx)=[/m]
[m]=(x^2+1)\cdot \frac{3^{x}}{ln3}-\frac{2}{ln3}\cdot x\cdot \frac{3^{x}}{ln3}+\frac{2}{ln3}\cdot \frac{1}{ln3} ∫ 3^{x}dx=[/m]
[m]=(x^2+1)\cdot \frac{3^{x}}{ln3}-\frac{2x\cdot 3^{x}}{ln^23}+\frac{2}{ln^23}\cdot \frac{3^{x}}{ln3} +C=(x^2+1)\cdot \frac{3^{x}}{ln3}-\frac{2x\cdot 3^{x}}{ln^23}+\frac{2}{ln^33}\cdot3^{x} +C[/m]
б)
Раскладываем знаменатель на множители:
[m]x^3+x^2+2x+2=(x^3+x^2)+(2x+2)=x^2(x+1)+2(x+1)=(x+1)(x^2+2)[/m]
и дробь
[m]\frac{1}{x^3+x^2+2x+2}[/m]
на простейшие методом неопределенных коэффициентов
[m]\frac{1}{x^3+x^2+2x+2}=\frac{1}{x+1}+\frac{Mx+N}{x^2+2}[/m]
Приводим выражения справа к общему знаменателю
[m]\frac{1}{x^3+x^2+2x+2}=\frac{A(x^2+2)+(x+1)(Mx+N)}{(x+1)(x^2+2)}[/m]
Дроби равны, знаменатели равны, приравниваем числители:
[m]1=A(x^2+2)+(x+1)(Mx+N)[/m] - равенство двух многочленов
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях
[m]0\cdot x^2+0\cdot x+1=(A+M)x^2+(M+N)x+2A+N[/m]
[m]0=A+M[/m]
[m]0=M+N[/m]
[m]1=2A+N[/m]
решаем систему
{[m]0=A+M[/m] ⇒ [m]A=-M[/m]
{[m]0=M+N[/m] ⇒ [m]N=-M[/m]
{[m]1=2A+N[/m] ⇒ [m]1=2\cdot (-M)+(-M)[/m] ⇒ [m]1=-3M[/m]
[m]M=-\frac{1}{3}[/m]
[m]A=\frac{1}{3}[/m]
[m]N=\frac{1}{3}[/m]
