Задача 70414 ...
Условие
1) ∫ (е^х)/sqrt((е^х+4))dx
2)sin2x/(3sin^2x+4)dx
математика
85
Решение
★
Замена переменной
[m]\sqrt{e^{x}+4}=t[/m] ⇒ [m]e^{x}+4=t^2[/m] ⇒ [m]e^{x}=t^2-4[/m] ⇒ [m]x=ln(t^2-4)[/m]
[m]dx=(ln (t^2-4))`dt[/m]
[m]dx=\frac{1}{t^2-4}\cdot (t^2-4)`dt[/m]
[m]dx=\frac{2t}{t^2-4}dt[/m]
[m]∫\frac{e^{x}}{\sqrt{e^{x}+4}}dx= ∫ \frac{t^2-4}{t}\cdot \frac{2t}{t^2-4}dt=2 ∫dt=2t+c=2\sqrt{e^{x}+4}+C [/m]
2.
Замена переменной
[m]3sin^2x+4=t[/m] ⇒ [m]dt=d(3sin^2x+4)`dx[/m] ⇒ [m]dt=3\cdot (2sinx)\cdot (sinx)`dx[/m]
[m]dt=6sinx\cdot cosxdx[/m]
[m]dt=3sin2xdx[/m] ⇒ [m]sin2xdx=\frac{1}{3}dt[/m]
[m] ∫ \frac{sin2x}{3sin^2x+4}dx=\frac{1}{3} ∫ \frac{dt}{t}=\frac{1}{3}ln|t|+C=\frac{1}{3}ln|3sin^2x+4|+C[/m]