Задача 70413 9.3.146. Найти объем тела, ограниченного...

6421a64927fa5c115d26d127

27.03.2023 17:24:42

9.3.146. Найти объем тела, ограниченного параболическим цилиндром z = x^(2), плоскостями у = 0, у = 6, г =1.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

27.03.2023 17:27:05

★

z=x^2- параболический цилиндр

y=6
y=0
две плоскости, которые отрезают от него часть такой же формы
Слой... в виде неограниченной "подковы"

z=1 ограничивает тело сверху

V= ∫∫∫_( Ω )dxdydz

= ∫∫_(D) (z)|^(1)_(x^2)dxdy=∫∫_(D) (1-x^2)dxdy=

D- проекция тела на плоскость xOy
Находим из системы:
{z=1
{z=x^2 ⇒ x^2=1 ⇒ [b]x= ± 1[/b]

D:
-1 ≤ x ≤ 1
0 ≤ y ≤ 6

= ∫^(1) _(-1)dx([b] ∫ ^(6)_(0)(1-x^2)dy[/b])=


=∫^(1) _(-1)dx ((1-x^2)([b] ∫ ^(6)_(0)dy[/b]))=


=∫^(1) _(-1) (1-x^2)(y)| ^(6)_(0)dx=


=∫^(1) _(-1) (1-x^2)(6-0)dx=6∫^(1) _(-1) (1-x^2)dx=6*(x-(x^3/3))|^(1) _(-1) =6*(4/3)=[b]8[/b]