Задача 70410 { 2^x - 3^(2y) = 55 { (sqrt(2))^x +...

64099668438f4e0b023ada83

27.03.2023 15:29:19

{ 2^x - 3^(2y) = 55
{ (sqrt(2))^x + 3^(y) = 11

5f3eaa23faf909182968dde0

27.03.2023 16:52:50

★

{2^(x)-3^(2y)=55,
{(sqrt(2))^(x)+3^(y)=11;

пусть
{(sqrt(2))^(x)=a,
{3^(y)=b,
тогда
2^(x)=a^(2), 3^(2y)=b^(2),
и получаем систему уравнений:

{a^(2)-b^(2)=55,
{a+b=11;

{(a-b)(a+b)=55,
{a+b=11;

{(a-b)*11=55,
{a+b=11;

{a-b=5,
{a+b=11;

{2a=16,
b=11-a;

{a=8,
{b=3.

Обратный переход:
{(sqrt(2))^(x)=8,
{3^(y)=3;

{2^((1/2)x)=2^(3),
{3^(y)=3^(1);

{(1/2)x=3,
{y=1;

{x=6;
{y=1.

Ответ: (6;1).

626fab9a354ab65fb2f43abb

27.03.2023 16:51:16

{ 2^x - 3^(2y) = 55
{ (sqrt(2))^x + 3^y = 11
Делаем замену: (sqrt(2))^x = a, 3^y = b
Тогда 2^x = a^2, 3^(2y) = b^2
{ a^2 - b^2 = 55
{ a + b = 11
Раскладываем разность квадратов:
{ (a - b)(a + b) = 55
{ a + b = 11
Получаем:
(a - b)*11 = 55
a - b = 5
Получаем систему:
{ a - b = 5
{ a + b = 11
Которая очень просто решается:
a = (5 + 11)/2 = 16/2 = 8
b = 11 - a = 11 - 8 = 3
Делаем обратную замену:
a = (sqrt(2))^x = 8 = 2^3 = (sqrt(2))^6; [b]x = 6[/b]
b = 3^y = 3 = 3^1; [b]y = 1[/b]
Ответ: x = 6; y = 1