Задача 70407 ...
Условие
{ C/x, x ∈ [1/e; e]
{ 0, x ∈ [1/e; e
Найти: 1) параметр С и построить график : 2) интегральную функцию Е(х)и построить ее график; 3) математическое ожидание тх ‚ дисперсию Ох и среднее квадратическое отклонение s(х); 4) вероятность Р(Х < 2) дважды, используя дифференциальную и интегральную функции. Результат проиллюстрируйте на графиках. 
Решение
Так как по свойству плотности:
[m]∫ ^{+∞}_{- ∞} f(x)dx=1[/m]
Так как функция задана на трех промежутках, то
[m]∫ ^{+ ∞ }_{- ∞}f(x)dx=∫ ^{\frac{1}{e} }_{- ∞}\cdot 0 dx+∫ ^{e}_{\frac{1}{e}}\frac{C}{x} dx+∫ ^{+ ∞ }_{e} 0\cdot dx[/m]
[m]0+C\cdot ln|x|| ^{e }_{\frac{1}{e}}=1[/m]
[m]C\cdot (lne-ln\frac{1}{e})=2[/m]
[m]C\cdot (1-(-1))=2[/m]
[m]C=\frac{1}{2}[/m]
2)
По определению:
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }f(x)dx[/m]
При
[m] x ≤\frac{1}{e}[/m]
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }0dx=0[/m]
При
[m] \frac{1}{e} <x ≤ e [/m]
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }0dx+∫ ^{x}_{\frac{1}{e} }\frac{\frac{1}{2}}{x}dx=\frac{1}{2}(ln|x|)|^{x}_{\frac{1}{e}} =\frac{1}{2}ln|x-\frac{1}{2}ln|\frac{1}{e}|=\frac{1}{2}lnx+\frac{1}{2}[/m]
[b]При x >e [/b]
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }f(x)dx=∫ ^{\frac{1}{e}}_{- ∞ }0dx+∫ ^{e}_{\frac{1}{e}}\frac{\frac{1}{2}}{x}dx+∫ ^{+ ∞ }_{e}0dx=\frac{1}{2}(ln|x|)|^{e}_{\frac{1}{e}}=\frac{1}{2}\cdot (lne-ln\frac{1}{e})=\frac{1}{2}\cdot 2=1[/m]
Получаем:
[m]F(x)\left\{\begin {matrix}0, x ≤\frac{1}{e}\\\frac{1}{2}lnx+\frac{1}{2} ,\frac{1}{e} <x ≤ e\\1, x>e \end {matrix}\right.[/m]
По определению:
[m]m(X)=∫ ^{∞ }_{- ∞ }x\cdot f(x)dx[/m]
Так как функция задана на трех промежутках, то интеграл равен сумме интегралов по трем промежуткам (первый и последний равны 0, так как функция равна 0):
[m]m(X)= ∫ ^{e}_{\frac{1}{e}}x\cdot \frac{\frac{1}{2}}{x}dx=\frac{1}{2}∫ ^{e}_{\frac{1}{e}}dx=\frac{1}{2}(x)| ^{e}_{\frac{1}{e}}=\frac{1}{2}(e-\frac{1}{e})=\frac{e^2-1}{2e}[/m]
По формуле:
[red]D(X)=M(X^2)-(M(X))^2[/red]
Считаем
Так как функция задана на трех промежутках, то интеграл равен сумме интегралов по трем промежуткам (первый и последний равны 0, так как функция равна 0):
[m]M(X^2)=∫ ^{e}_{\frac{1}{e}}x^2\cdot \frac{\frac{1}{2}}{x}dx=\frac{1}{2}∫ ^{e}_{\frac{1}{e}}xdx=\frac{1}{2}(\frac{x^2}{2})∫ ^{e}_{\frac{1}{e}}|=\frac{1}{4}e^2-\frac{1}{4e^2}=\frac{e^4-1}{4e^2}[/m]
Тогда
[m]D(X)=\frac{e^4-1}{4e^2}-\frac{e^2-1}{2e}=\frac{e^4-1-2e^3+2e}{4e^2}=\frac{(e^2-1)(e^2-2e+1)}{2e^2}=\frac{(e^2-1)(e-1)^2}{4e^2}[/m]
По формуле:
[m]s(X)=\sqrt{ D(X)}=\sqrt{\frac{(e^2-1)(e-1)^2}{4e^2}}=\frac{(e-1)}{2e}\cdot \sqrt{e^2-1}[/m]
4)
По формуле:
[m]P( α ≤ X ≤ β )=F( β )-F( α )[/m]
получаем:
[m]P( X <2 )=F(2)-F(- ∞)=\frac{1}{2}ln2+\frac{1}{2} -0=\frac{1}{2}ln2+\frac{1}{2}[/m]