Задача 70404 Найти площадь области, ограниченной...
Условие
Решение
[m]x=16cos^3t[/m] ⇒ [m]cos^3t=\frac{x}{16}[/m] ⇒ [m]cost=\sqrt[3]{\frac{x}{16}}[/m]
[m]cos^2t=\sqrt[3]{(\frac{x}{16})^2}[/m]
[m]y=2sin^3t[/m] ⇒ [m]sin^3t=\frac{y}{2}[/m] ⇒ [m]sint=\sqrt[3]{\frac{y}{2}}[/m]
[m]sin^2t=\sqrt[3]{(\frac{y}{2})^2}[/m]
[m]cos^2t=\sqrt[3]{(\frac{x}{16})^2}[/m] и [m]sin^2t=\sqrt[3]{(\frac{y}{2})^2}[/m]
[m]\sqrt[3]{(\frac{x}{16})^2}+\sqrt[3]{(\frac{y}{2})^2}=1[/m], так как [m]cos^2t+sin^2t=1[/m]
Это [b]астроида
[/b]
[m]x=16cos^3t[/m]
[m]x=2[m] ⇒ m]16cos^3t=2[/m]
[m]cos^3t=\frac{1}{8}[/m]
[m]cost=\frac{1}{2}[/m] ⇒[b] [m]t=\frac{π}{3}[/m][/b]
[m]y=2sin^3t[/m] ⇒ [m]y=0[/m] ⇒
[m]2sin^3t=0[/m] ⇒[m]sin^3t=0[/m] ⇒ [m]sint=0[/m] ⇒[b] [m]t=0[/m][/b]
[m]S=2S_{1}[/m]
[m]S_{1}= ∫ ^{\frac{π}{3}}_{0}2sin^3t\cdot (16cos^3t)`dt=[/m] - площадь половины закрашенной области. В первой четверти
