Задача 70384 При каких значениях f(x) и g(y)...

6320a99c26d9cc47f00fe39a

25.03.2023 19:16:15

При каких значениях f(x) и g(y) выражение f(x)x^8y^3dx + g(y)x^6y^5dy является дифференциалом некоторой функции?

5f3ea7e3faf909182968ddd9

25.03.2023 21:01:35

★

z=F(x;y)

тогда дифференциал этой функции имеет вид

dz=F`_(x)(x;y)*dx+F`_(y)(x;y)*dy

Значит, если
f(x)*x^8*y^3dx+g(y)*x^6*y^5dy
- дифференциал, то

F`_(x)(x;y)=f(x)*x^8*y^3
F`_(y)(x;y)=g(y)*x^6*y^5

F``_(xy)=F``_(yx)

Находим:

(F`_(x)(x;y))`_(y)=(f(x)*x^8*y^3)`_(y)=3*f(x)*x^8*y^2
(F`_(y)(x;y))_(x)=(g(y)*x^6*y^5)`_(x)=6*g(y)*x^5*y^5


3*f(x)*x^8*y^2=6*g(y)*x^5*y^5


f(x)*x^3=2*g(y)*y^3

626fab9a354ab65fb2f43abb

25.03.2023 23:06:50

Exponenta всё правильно написала, мне осталось закончить.
Так как f(x) - это функция только от x, а g(y) - только от y,
то удобно предположить, что:
f(x)·x^3=2·g(y)·y^3 = 2
f(x) = 2/x^3
g(y) = 1/y^3
Впрочем, вместо 2 можно взять любое число.
Главное, чтобы оно не зависело от x и y.