Задача 70375 Найдите значение выражения (2х-у)^2 +...
Условие
Решение
Здесь точно нет ошибки? Может быть, должно быть так?
(2x + y)^2 + (2x - y)^2
Если да, то так:
(2x+y)^2 + (2x-y)^2 = 4x^2+4xy+y^2+4x^2-4xy+y^2 = 8x^2 + 2y^2
А если все же ошибки нет, то так:
(2x-y)^2 + (2x-y)^2 = 4x^2-4xy+y^2+4x^2-4xy+y^2 = 8x^2 - 8xy + 2y^2
Теперь условия:
{ x + y = 2
{ xy = -1
Это означает по теореме Виета, что x и y - корни уравнения:
t^2 - 2t - 1 = 0
D = (-2)^2 - 4*1(-1) = 4 + 4 = 8 = (2*sqrt(2))^2
t1 = x = (2 - 2*sqrt(2))/2 = 1 - sqrt(2)
x^2 = (1 - sqrt(2))^2 = 1 - 2sqrt(2) + 2 = 3 - 2sqrt(2)
t2 = y = (2 + 2*sqrt(2))/2 = 1 + sqrt(2)
y^2 = (1 + sqrt(2))^2 = 1 + 2sqrt(2) + 2 = 3 + 2sqrt(2)
xy = (1 - sqrt(2))(1 + sqrt(2)) = 1 - 2 = -1
Еще раз, если в условии ошибка, то:
(2x+y)^2 + (2x-y)^2 = 8x^2 + 2y^2 = 8(3 - 2sqrt(2)) + 2(3 + 2sqrt(2)) =
= 24 - 16sqrt(2) + 6 + 4sqrt(2) = 30 - 12sqrt(2)
А если ошибки нет, то:
(2x-y)^2 + (2x-y)^2 = 8x^2 - 8xy + 2y^2 = 30 - 12sqrt(2) - 8(-1) = 38 - 12sqrt(2)