Задача 70354 Нужна помощь…...
Условие
Решение
[m]\lim_{ \to \infty }\frac{5x^4-4x^3+7}{7x^4+2x^2-x}=[/m]
Неопределенность ( ∞ / ∞ )
Делим числитель и знаменатель на [m]x^4[/m]:
[m]=\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{5x^4-4x^3+7}{x^4}}{\frac{7x^4+2x^2-x}{x^4}}=[/m]
Делим почленно, те каждое слагаемое числителя делим на [m]x^4[/m] и
каждое слагаемое знаменателя делим на [m]x^4[/m]:
[m]=\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{5x^4}{x^4}-\frac{4x^3}{x^4}+\frac{7}{x^4}}{\frac{7x^4}{x^4}+\frac{2x^2}{x^4}-\frac{x}{x^4}}=[/m]
[m]=\lim_{ \to \infty }\frac{5-\frac{4}{x}+\frac{7}{x^4}}{7+\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x^3}}=\frac{5-0+0}{7+0-0}=\frac{5}{7}[/m]
2)[m]\lim_{ \to \infty }\frac{x^2+x+1}{x^3-x+1}=[/m]
Неопределенность ( ∞ / ∞ )
Делим числитель и знаменатель на [m]x^3[/m].
Делим почленно, те каждое слагаемое числителя делим на [m]x^3[/m] и каждое слагаемое знаменателя делим на [m]x^3[/m]
[m]=\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{x^2}{x^3}-\frac{x}{x^3}+\frac{1}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3}-\frac{x}{x^3}+\frac{1}{x^3}}=[/m]
[m]=\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}}{1-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}}=\frac{0+0+0}{1-0+0}=\frac{0}{1}=0[/m]
3)
[m]\lim_{x \to+ \infty }\frac{\sqrt{x^2+2}-\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^2-2}+x}=[/m]
Неопределенность ( ∞- ∞ ) в числителе
Умножаем числитель и знаменатель на [m](\sqrt{x^2+2}+\sqrt{x+1})[/m]
Применяем формулу: [m](a-b)(a+b)=a^2-b^2[/m]
[m]=\lim_{x \to+ \infty }\frac{(\sqrt{x^2+2}-\sqrt{x+1})\cdot(\sqrt{x^2+2}+\sqrt{x+1}) }{(\sqrt{x^2-2}+x)\cdot(\sqrt{x^2+2}+\sqrt{x+1}) }=\lim_{x \to + \infty }\frac{(\sqrt{x^2+2})^2-(\sqrt{x+1})^2}{(\sqrt{x^2-2}+x)\cdot(\sqrt{x^2+2}+\sqrt{x+1})}=[/m]
[m]=\lim_{x \to + \infty }\frac{x^2+2-(x+1)}{(\sqrt{x^2-2}+x)\cdot(\sqrt{x^2+2}+\sqrt{x+1})}=\lim_{x \to +\infty }\frac{x^2-x+1}{(\sqrt{x^2-2}+x)\cdot(\sqrt{x^2+2}+\sqrt{x+1})}[/m]
Неопределенность ( ∞/∞ )
Делим на [m]x^2[/m] и числитель и знаменатель:
[m]\lim_{x \to + \infty }\frac{\frac{x^2-x+1}{x^2}}{\frac{(\sqrt{x^2-2}+x)\cdot(\sqrt{x^2+2}+\sqrt{x+1})}{x^2}}= [/m]
[m]=\lim_{x \to + \infty }\frac{\frac{x^2}{x^2}-\frac{x}{x^2}+\frac{1}{x^2}}{\frac{(\sqrt{x^2-2}+x)}{x}\cdot\frac{(\sqrt{x^2+2}+\sqrt{x+1})}{x^2}}= [/m]
[m]=\lim_{x \to + \infty }\frac{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{(\sqrt{\frac{x^2-2}{x^2}}+\frac{x}{x^2})\cdot \sqrt{\frac{x^2+2}{x^2}}+\sqrt{\frac{x+1}{x^2}}}=\frac{1}{2} [/m]