Задача 70346 Периметр прямоугольника равен 7 см, а...

641d287443c5716ed035b779

24.03.2023 07:36:14

Периметр прямоугольника равен 7 см, а его площадь в раза меньше. Найди квадрат суммы диагоналей прямоугольника. В ответе укажи только число, без пробелов и каких-либо знаков препинания. Например: 5

5f3eaa23faf909182968dde0

24.03.2023 09:00:23

★

Пусть стороны прямоугольника равны х и у.
У прямоугольника диагонали равны. Одна диагональ равна
d=sqrt(x^(2)+y^(2)).
Сумма двух диагоналей будет равна
2sqrt(x^(2)+y^(2)),
а квадрат суммы диагоналей будет равен
(2sqrt(x^(2)+y^(2)))^(2)=4(x^(2)+y^(2)).

2(х+у) - периметр прямоугольника,
ху - площадь прямоугольника.
По условию
2(х+у)=7,
ху=7:2=3,5.
Из первого уравнения получаем:
х+у=3,5.
Возведем обе части в квадрат:
(х+у)^(2)=3,5^(2),
x^(2)+2xy+y^(2))=12,25,
x^(2)+y^(2)=12,25-2xy,
x^(2)+y^(2)=12,25-2*3,5,
x^(2)+y^(2)=5,25.
Тогда получаем:
4(x^(2)+y^(2))=4*5,25=21.
Ответ: 21.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

24.03.2023 12:11:25

Пусть одна сторона х, вторая сторона y
Найти
(d_(1)+d_(2))^2
Диагонали прямоугольника равны,
d_(1)=d_(2)=d

По теореме Пифагора:
d^2=x^2+y^2


(d_(1)+d_(2))^2=(d+d)^2=(2d)^2=4d^2=4*(x^2+y^2)=[b]4*x^2+4*y^2[/b]

По условию

P_(прямоугольника)=7
S_(прямоугольника)=7/2

Так как
P_(прямоугольника)=2*(x+y)
S_(прямоугольника)=x*y


Получаем систему уравнений:
[m]\left\{\begin {matrix}2(x+y)=7\\xy=3,5\end {matrix}\right.[/m]

Требуется найти [b]4*x^2+4*y^2[/b]

Возводим первое уравнение в квадрат:

[m]\left\{\begin {matrix}(2(x+y))^2=7^2\\xy=3,5\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}4(x^2+2xy+y^2)=49\\xy=3,5\end {matrix}\right.[/m]

xy=3,5 в первое уравнение:

[m]4(x^2+2\cdot 3,5+y^2)=49[/m]

[m]4(x^2+7+y^2)=49[/m]

[m]4x^2+28+4y^2=49[/m]

[m]4x^2+4y^2=49-28[/m]

[m]4x^2+4y^2=[/m][red]21[/red]



О т в е т. (d_(1)+d_(2))^2=[b]4*(x^2+y^2)[/b]=[red]21[/red]