Задача 70338 ...

63a8545246ce692afe75a7c4

23.03.2023 21:21:28

Исследовать сходимость числового ряда Σ (-1)^(n+1) * (2n+1)/(n(n+1))

5f3ea7e3faf909182968ddd9

24.03.2023 10:07:35

★

Знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница.

Оба условия признака выполняются

1)
|a_(n)}=[m]\frac{2n+1}{n(n+1)} → 0[/m]

2)
{(a_(n)} - монотонно убывающая

a_(n+1) < a_(n)

Докажем:

[m]\frac{2(n+1)+1}{(n+1)(n+2)} ≤ \frac{2n+1}{n(n+1)} [/m]

[m]\frac{2n+3}{(n+1)(n+2)}- \frac{2n+1}{n(n+1)} ≤0 [/m]

Приводим к общему знаменателю:

[m]\frac{(2n+3)n-(n+2)(2n+1)}{n(n+1)(n+2)}≤0 [/m]


[m]\frac{2n^2+3n-2n^2-4n-n-2}{n(n+1)(n+2)}≤0 [/m]

[m]\frac{(-2n-2)}{n(n+1)(n+2)}≤0 [/m]- верно при любом натуральном n