Задача 70269 Здравствуйте. Задание по алгебре. Вуз...
Условие
Решение
а) [m]y= \sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{x}}} = (1+(1+x^{1/3})^{1/3})^{1/3}[/m]
[m]y'=\frac{1}{3}(1+(1+x^{1/3})^{1/3})^{-2/3} \cdot \frac{1}{3}(1+x^{1/3})^{-2/3} \cdot \frac{1}{3}x^{-2/3} = [/m]
[m]= \frac{1}{27}(1+(1+x^{1/3})^{1/3})^{-2/3} \cdot (1+x^{1/3})^{-2/3} \cdot x^{-2/3}[/m]
б) y = sin^2 (x + sin x)^2
y' = 2sin (x + sin x)^2 * cos (x + sin x)^2 * 2(x + sin x) * (1 + cos x) =
= 4sin (x + sin x)^2 * cos (x + sin x)^2 * (x + sin x) * (1 + cos x)
в) y = e^x*(1 + ctg(x/2))
[m]y' = e^x(1 + ctg\frac{x}{2}) + e^x(-\frac{1}{sin^2(x/2)}) \cdot \frac{1}{2} = e^x(1 + ctg\frac{x}{2} - \frac{1}{2sin^2(x/2)})[/m]
г) y = arccos(cos^2 x)
[m]y' = -\frac{1}{\sqrt{1-cos^4(x)}} \cdot 2cos(x)(-sin(x)) = \frac{sin(2x)}{\sqrt{1-cos^4(x)}}[/m]
д) [m]y=\frac{1}{12}ln \frac{x^4-x^2+1}{(x^2+1)^2}[/m]
[m]y'=\frac{1}{12} \cdot \frac{(x^2+1)^2}{x^4-x^2+1} \cdot \frac{(4x^3-2x)(x^2+1)^2 - (x^4-x^2+1) \cdot 2(x^2+1) \cdot 2x}{(x^2+1)^4} =[/m]
[m]=\frac{1}{12} \cdot \frac{(x^2+1)^2}{x^4-x^2+1} \cdot \frac{(4x^3-2x)(x^2+1) - 4x(x^4-x^2+1)}{(x^2+1)^3} =[/m]
[m]=\frac{1}{12} \cdot \frac{1}{x^4-x^2+1} \cdot \frac{4x^5-2x^3 + 4x^3 - 2x - (4x^5 - 4x^3 + 4x)}{x^2+1} =[/m]
[m]= \frac{1}{12} \cdot \frac{6x^3 - 6x}{(x^4-x^2+1)(x^2+1)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3 - x}{(x^4-x^2+1)(x^2+1)}[/m]
е) y = ln (e^(-x) + x*e^(-x))
[m]y' = \frac{1}{e^{-x} + x \cdot e^{-x}} \cdot (-e^{-x} + e^{-x} - x \cdot e^{-x})= \frac{1}{e^{-x}(1 + x)} \cdot (- x \cdot e^{-x}) = \frac{e^{x}}{1 + x} \cdot \frac{-x}{e^{x}} = -\frac{x}{1+x}[/m]
ж) y = x^(ln x) = e^(ln (x^(ln x))) = e^(ln x * ln x) = e^((ln x)^2)
[m]y' = e^{(ln x)^2} \cdot 2ln x \cdot \frac{1}{x} = 2x^{ln x} \cdot \frac{ln(x)}{x}[/m]
з) y = (arcsin x)^x = e^(ln(arcsin x)^x) = e^(x*ln(arcsin x))
[m]y' = e^{x \cdot ln(arcsin x)} \cdot (ln(arcsin x) + x \cdot \frac{1}{arcsin(x)} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}})= (arcsin x)^{x}\cdot (ln(arcsin x) + \frac{x}{arcsin(x)} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}})[/m]
и) [m]y=\frac{(x+1)^5}{(x-3)^6 \sqrt[4]{x-2}} = \frac{(x+1)^5}{(x-3)^6(x-2)^{1/4}}[/m]
[m]y' = \frac{5(x+1)^4(x-3)^6(x-2)^{1/4} - (x+1)^5(6(x-3)^5)(x-2)^{1/4} + (x-3)^6 \cdot 1/4(x-2)^{-3/4})}{(x-3)^{12}(x-2)^{1/2}} = [/m]
[m] = \frac{5(x+1)^4(x-3)(x-2)^{1/4} - (x+1)^5(6(x-2)^{1/4} + 1/4(x-3)(x-2)^{-3/4})}{(x-3)^7(x-2)^{1/2}} = \frac{5(x+1)^4(x-3)(x-2) - (x+1)^5(6(x-2) + 1/4(x-3)}{(x-3)^7(x-2)^{5/4}}[/m]
к) ln(x^3) - e^(xy) = y + 1
Выразим неявную функцию так:
3ln x = e^(xy) + y + 1
Производная от неявной функции.
Берем производную от каждой части, считая x' = 1; y' = y'
3/x = e^(xy)*(y + xy') + y'
3/x = ye^(xy) + y'*xe^(xy) + y'
y'(xe^(xy) + 1) = 3/x - ye^(xy)
[m]y' = \frac{3/x - ye^{xy}}{xe^{xy} + 1} = \frac{3 - xye^{xy}}{x(xe^{xy} + 1)}[/m]
л) 3^(x/y) - x^2 - y^2 = 0
3^(x/y) = x^2 + y^2
Производная от неявной функции.
3^(x/y)*ln(3)*(y - xy')/y^2 = 2x + 2y*y'
3^(x/y)*ln(3)/y - 2x = 3^(x/y)*ln(3)*x/y^2*y' + 2y*y'
y'*(3^(x/y)*ln(3)*x/y^2 + 2y) = 3^(x/y)*ln(3)/y - 2x
[m]y' = \frac{3^{x/y} \cdot ln(3)/y - 2x}{3^{x/y} \cdot ln(3) \cdot x/y^2 + 2y}[/m]
м) [m]\frac{x+y}{xy} = 2x[/m]
[m]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2x[/m]
[m]\frac{1}{y} = 2x - \frac{1}{x} = \frac{2x^2 - 1}{x}[/m]
[m]y = \frac{x}{2x^2 - 1}[/m]
Выразили явно функцию, берем производную:
[m]y' = \frac{(2x^2-1) - x \cdot 4x}{(2x^2 - 1)^2} = \frac{2x^2-1 - 4x^2}{(2x^2 - 1)^2} = \frac{-2x^2-1}{(2x^2 - 1)^2} = -\frac{2x^2+1}{(2x^2 - 1)^2}[/m]
н) Функция задана параметрически
{ x = 2^(t-1)
{ y = 1/4*(t^3+1)
Берем производные по t:
{ x'_t = 2^(t-1)*ln(2)
{ y'_t = 1/4*3t^2 = 3/4*t^2
Производная y'_x:
[m]y'_x = \frac{y'_{t} }{x'_{t} } = \frac{3/4 \cdot t^2}{2^{t-1}\cdot ln(2)} = \frac{3t^2}{4 \cdot 2^{t}\cdot (1/2) \cdot ln(2)} = \frac{3t^2}{2 \cdot 2^{t} \cdot ln(2)}[/m]
о) Функция задана параметрически
{ x = (1 + ln t)/t
{ y = (3 + 2ln t)/t
Берем производные по t:
{ [m]x'_t = \frac{1/t \cdot t - (1+ln(t))}{t^2} = \frac{1 - 1-ln(t)}{t^2} = -\frac{ln(t)}{t^2}[/m]
{ [m]y' = \frac{2/t*t - (3 + 2ln(t))}{t^2} = \frac{2 - 3 - 2ln(t)}{t^2} = -\frac{1+2ln(t)}{t^2}[/m]
Производная y'_x:
[m]y'_x = y'_{t}\ :\ x'_{t} = (-\frac{1+2ln(t)}{t^2}) : (-\frac{ln(t)}{t^2}) = \frac{1+2ln(t)}{ln(t)} = 2+\frac{1}{ln(t)}[/m]