Задача 70241 Здравствуйте, можете помочь решить...
Условие
(x^1/2+x^-2/3)^n
Коэффициент 5 члена относится к коэффициенту 3 члена 7:2. Найти член разложения содержащий x в первой степени.
Решение
[m]T_{k+1}=C^{k}_{n}(x^{\frac{1}{2}})^{n-k}\cdot (x^{-\frac{2}{3}})^{k}[/m]
n, k ∈[b] N[/b]
k < n
Из первого условия задачи :
"Коэффициент 5 члена ( k+1=5 ⇒ при k=4) члена относится к коэффициенту 3 члена (k+1=3 ⇒ при k=2) как 7:2",
получаем равенство:
[m]\frac{C^{4}_{n}}{C^{2}_{n}}=\frac{7}{2}[/m]
По формуле ( см. скрин)
[m]\frac{\frac{n!}{4!\cdot (n-4)!}}{\frac{n!}{2!\cdot (n-2)!}}=\frac{7}{2}[/m]
[m]\frac{\frac{n!}{4!\cdot (n-4)!}}{\frac{n!}{2!\cdot (n-2)!}}=\frac{7}{2}[/m]
[m]\frac{n!}{4!\cdot (n-4)!}\cdot \frac{2!\cdot (n-2)!}{n!}=\frac{7}{2}[/m]
[m]\frac{n!}{2!\cdot 3\cdot 4\cdot (n-4)!}\cdot \frac{2!\cdot (n-4)!\cdot (n-3)\cdot (n-2)}{n!}=\frac{7}{2}[/m]
[m]\frac{1}{ 3\cdot 4 }\cdot \frac{ (n-2)\cdot (n-3)}{1}=\frac{7}{2}[/m]
[m] 2(n-2)(n-3)=7\cdot 3\cdot 4[/m]
[m]n^2-5n+6=42[/m]
[m]n^2-5n-36=0[/m]
D=25+4*36=169
[red]n_{1}=9[/red] или [m] n_{2}=-4<0[/m]
Из второго условия в задаче
"член разложения содержащий x в первой степени"
получаем равенство:
[m](x^{\frac{1}{2}})^{n-k}\cdot (x^{-\frac{2}{3}})^{k}=x^{1}[/m]
[m](x^{\frac{1}{2}})^{n-k}\cdot (x^{-\frac{2}{3}})^{k}=x^{1}[/m]
применяем свойства степени
[m]x^{\frac{1}{2}n-\frac{1}{2}k}\cdot x^{-\frac{2}{3}k}=x^{1}[/m]
[m]x^{\frac{1}{2}n-\frac{1}{2}k-\frac{2}{3}k}=x^{1}[/m]
[m]\frac{1}{2}n-\frac{1}{2}k-\frac{2}{3}k=1[/m] ⇒ [m]\frac{1}{2}n-\frac{7}{6}k=1[/m] ⇒[red] [m]3n-7k=6[/m][/red]
[red]n=9[/red]
[m] 3\cdot 9-7k=6[/m]
[m]7k=21[/m]
[m]k=3[/m]
[m]T_{4}=C^{3}_{9}(x^{\frac{1}{2}})^{9-3}\cdot (x^{-\frac{2}{3}})^{3}[/m]
[m]T_{4}=\frac{9!}{3!\cdot 6!}x[/m]
[m]T_{4}=16}x[/m]