Задача 70238 ...
Условие
Решение
Два пути
если D>0
два корня и тогда дробь можно разложить на простейшие дроби вида
[m]\frac{A}{t ± a}[/m]
[m]∫ \frac{A}{t ± a}=A\cdot ln|t ± a|[/m]
( табличный[m] ∫ \frac{du}{u}=ln|u|[/m])
если D<0
Выделяем полный квадрат
D=1-4*2<0
Значит выделяем полный квадрат
[m]t^2-2\cdot t\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{4}-frac{1}{4}+2=(t-\frac{1}{2})^2+\frac{7}{4}[/m]
[i]Замена переменной[/i]
[m]t-\frac{1}{2}=z[/m]
[m]t=z+\frac{1}{2}[/m]
[m]dt=dz[/m]
[m]\frac{1}{4} ∫ \frac{11t-34}{t^2-t+2}dt=\frac{1}{4} ∫ \frac{11\cdot (z+\frac{1}{2} )-34}{z^2+\frac{7}{4} }dz=\frac{11}{4}∫\frac{ z}{z^2+\frac{7}{4}}dz-\frac{1}{4} ∫ \frac{\frac{11}{2}-34}{z^2+(\frac{\sqrt{7}}{2})^2}=[/m]
[m]=\frac{11}{8} ∫\frac{2z}{z^2+\frac{7}{4}}+\frac{1}{4}∫ \frac{(-\frac{57}{2})}{z^2+(\frac{\sqrt{7}}{2})^2}=[/m]
табличный [m]∫ \frac{du}{u}=ln|u|[/m]
табличный [m]∫ \frac{1}{u^2+a^2}du=\frac{1}{a}arctg\frac{u}{a}[/m]
[m]=\frac{11}{8} ln|z^2+\frac{7}{4}|-\frac{57}{8}\frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{2}} \cdot arctg\frac{z}{\frac{\sqrt{7}}{2}}+C=[/m]
[m]=\frac{11}{8}ln|t^2-t+2|-\frac{57}{4\sqrt{7}} arctg\frac{2t-1}{\sqrt{7}} + C[/m]