Задача 70236 ...
Условие
Если нужно, ниже прикрепляю фотографию схемы, как нужно исследовать функцию по пунктам.
Решение
D(y)=(–∞;+ ∞)
Вертикальных асимптот нет
2) Функция является четной.
[m]у(–х)=\frac{1}{1+(–х)^2}=\frac{1}{1+х^2}=y(x)[/m]
y(–x)=y(x)
3)
[m]lim_{x→ +∞}f(x)=lim_{x→ +∞}\frac{2}{1+х^2}=0[/m]
[m]lim_{x→ – ∞}f(x)=lim_{x→ -∞}\frac{2}{1+х^2}=0[/m]
y=0 - горизонтальная асимптота
Наклонной асимптоты нет, так как
[m]k=lim_{x→∞}\frac{f(x)}{x}=0[/m]
4)
Точки пересечения с осями координат
С осью Ох: y=0
[m]\frac{2}{1+х^2}=0[/m]
уравнение не имеет корней
Точек пересечения с осью Ох нет
С осью Оу: x=0
[m]\frac{2}{1+0^2}=2[/m]
(0;2) - точка пересечения с осью Оу
5)
[m]y`=(\frac{2}{1+х^2})`[/m]
[m]y`=-(\frac{2}{(1+х^2)^2})\cdot (1+x^2)`[/m]
[m]y`=-(\frac{4x}{(1+х^2)^2}[/m]
y`=0
x=0
Знак производной
_+__ (0) ___-___
x=0 – точка максимума, производная меняет знак с + на -
Функция
возрастает при x∈ (–∞;0)
убывает при x∈ (0;+∞)
у(0)=0 - наибольшее значение функции
6)
[m]y``=(y`)`=(-\frac{4x}{(1+х^2)^2})`=-\frac{(4x)`\cdot (1+x^2)-4x\cdot (1+x^2)`}{(1+x^2)^2}=-\frac{4\cdot (1+x^2)-4x\cdot 2x}{(1+x^2)^2}[/m]
[m]y``=-\frac{4-4x^2}{(1+x^2)^2}[/m]
y``=0
x= ± 1 –точки перегиба, вторая производная при переходе через точки меняет знак .
Функция выпукла вниз на (– ∞ ;–1) и на (1;+ ∞ )
выпукла вверх на (–1;1) 