Задача 70232 ...
Условие
Решение
[m] y`=(2-e^{x})`=2`-(e^{x})`=0-e^{x}[/m]
[m] L=\int^{ln\sqrt{8}}_{ln\sqrt{3}}\sqrt{1+(-e^{x})^2}dx=\int^{ln\sqrt{8}}_{ln\sqrt{3}}\sqrt{1+e^{2x}}dx=[/m]
[m] \int\sqrt{1+e^{2x}}dx=[/m]
[i]Замена переменной:[/i]
[m]\sqrt{1+e^{2x}}=t[/m] ⇒ [m]1+e^{2x}=t^2[/m] ⇒ [m]e^{2x}=t^2-1[/m] ⇒ [m]2x=ln(t^2-1)[/m] ⇒
[m]x=\frac{1}{2}ln(t^2-1)[/m]
[m]dx=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{t^2-1} \cdot (t^2-1)`dt[/m]
[m] dx=\frac{2t}{2(t^2-1)} dt[/m]
[m] dx=\frac{t}{t^2-1} dt[/m]
[m] \int\sqrt{1+e^{2x}}dx= ∫t\cdot \frac{t}{t^2-1} dt =∫\frac{t^2}{t^2-1} dt[/m] - неправильная дробь.
Выделяем целую часть
[m] =∫\frac{t^2-1+1}{t^2-1} dt= ∫ 1+\frac{1}{t^2-1}dt=t+\frac{1}{2}ln|\frac{t-1}{t+1}|+C[/m]
обратный переход к переменной х:
[m] =\sqrt{1+e^{2x}}+\frac{1}{2}ln|\frac{\sqrt{1+e^{2x}}-1}{\sqrt{1+e^{2x}}+1}|+C[/m]
Найдена первообразная. Можем применить формулу Ньютона Лейбница
[m] L=\int^{ln\sqrt{8}}_{ln\sqrt{3}}\sqrt{1+e^{2x}}dx=(\sqrt{1+e^{2x}}+\frac{1}{2}ln|\frac{\sqrt{1+e^{2x}}-1}{\sqrt{1+e^{2x}}+1}|)|^{ln\sqrt{8}}_{ln\sqrt{3}}=[/m]
[m]=(\sqrt{1+e^{2ln\sqrt{8}}}+\frac{1}{2}ln|\frac{\sqrt{1+e^{2ln\sqrt{8}}}-1}{\sqrt{1+e^{2ln\sqrt{8}}}+1}|)-(\sqrt{1+e^{2ln\sqrt{3}}}+\frac{1}{2}ln|\frac{\sqrt{1+e^{2ln\sqrt{3}}}-1}{\sqrt{1+e^{2ln\sqrt{3}}}+1}|)=[/m]
Свойство логарифма степени :[m] log_{a}b^{k}=klog_{a}b[/m]a>0; b>0; a ≠ 1
[m]=(\sqrt{1+e^{ln(\sqrt{8})^2}}+\frac{1}{2}ln|\frac{\sqrt{1+e^{ln(\sqrt{8})^2}}-1}{\sqrt{1+e^{ln(\sqrt{8})^2}}+1}|)-(\sqrt{1+e^{ln(\sqrt{3})^2}}+\frac{1}{2}ln|\frac{\sqrt{1+e^{ln(\sqrt{3})^2}}-1}{\sqrt{1+e^{ln(\sqrt{3})^2}}+1}|)=[/m]
[m]=(\sqrt{1+e^{ln8}}+\frac{1}{2}ln|\frac{\sqrt{1+e^{ln8}}-1}{\sqrt{1+e^{ln8}}+1}|)-(\sqrt{1+e^{ln3}}+\frac{1}{2}ln|\frac{\sqrt{1+e^{ln3}}-1}{\sqrt{1+e^{ln3}}+1}|)=[/m]
Основное логарифмическое тождество:
[m]a^{log_{a}b}=b[/m] a>0; b>0; a ≠ 1
[m]=(\sqrt{1+8}+\frac{1}{2}ln|\frac{\sqrt{1+8}-1}{\sqrt{1+8}+1}|)-(\sqrt{1+3}+\frac{1}{2}ln|\frac{\sqrt{1+3}-1}{\sqrt{1+3}+1}|)=[/m]
[m]=(3+\frac{1}{2}ln|\frac{3-1}{3+1}|)-(2+\frac{1}{2}ln|\frac{2-1}{2+1}|)=[/m]
