Задача 70227 Прямая l задана в пространстве общими...
Условие
Общие уравнения
прямой l M - (-1; 1; 0) Общее уравнение
плоскости Р
Решение
Общие уравнения прямой L:
{ 2x + 3y + z + 6 = 0
{ x - 3y - 2z + 3 = 0
Точка M(-1; 1; 0)
Плоскость P : x + 2y - z + 5 = 0
Найти:
Написать каноническое и параметрические уравнения L.
Составить уравнение прямой a || L, причем точка M ∈ a.
Найти проекцию точки M на прямую L.
Найти точку A пересечения прямой L и плоскости P.
Решение.
1) Направляющий вектор [b]s[/b] прямой L можно найти так:
[m]s = \begin{vmatrix}
i & j & k \\
2 & 3 & 1 \\
1 & -3 & -2 \\
\end{vmatrix} = [/m]
= i*3(-2) + j*1*1 + k*2(-3) - i*1(-3) - j*2(-2) - k*1*3 =
= -6i + j - 6k + 3i + 4j - 3k = -3i + 5j - 9k
[b]s[/b] = {-3; 5; -9}
Найдем любую точку, принадлежащую прямой L.
Возьмем, например, z = 0 и подставим в систему:
{ 2x + 3y + 6 = 0
{ x - 3y + 3 = 0
Складываем уравнения:
3x + 9 = 0
x = -3
Подставляем:
-3 - 3y + 3 = 0
-3y = 0
y = 0
Точка M0(-3; 0; 0)
Уравнение прямой каноническое:
(x + 3)/(-3) = (y - 0)/5 = (z - 0)/(-9)
(x + 3)/(-3) = y/5 = z/(-9) = t
Параметрические уравнения прямой L:
{ x = -3t - 3
{ y = 5t
{ z = -9t
2) Уравнение прямой a || L, проходящей через M(-1; 1; 0).
(x + 1)/(-3) = (y - 1)/5 = z/(-9) = t
Параметрические уравнения прямой a:
{ x = -3t - 1
{ y = 5t + 1
{ z = -9t
3) Проекция точки M(-1; 1; 0) на прямую L.
Найдем уравнение плоскости, имеющей нормальный вектор, параллельный прямой L и проходящей через точку M.
Нормальный вектор плоскости: (-3; 5; -9).
Уравнение плоскости:
-3(x + 1) + 5(y - 1) - 9(z - 0) = 0
-3x - 3 + 5y - 5 - 9z = 0
-3x + 5y - 9z - 8 = 0
Расстояние от точки M до прямой L найдем как точку пересечения трёх плоскостей:
{ 2x + 3y + z + 6 = 0
{ x - 3y - 2z + 3 = 0
{ -3x + 5y - 9z - 8 = 0
Решаем методом Гаусса:
{ x - 3y - 2z + 3 = 0
{ 2x + 3y + z + 6 = 0
{ -3x + 5y - 9z - 8 = 0
Умножаем 1 уравнение на -2 и складываем со 2 уравнением.
Умножаем 1 уравнение на 3 и складываем с 3 уравнением.
{ x - 3y - 2z + 3 = 0
{ 0x + 9y + 5z + 0 = 0
{ 0x - 4y - 15z + 1 = 0
Умножаем 2 уравнение на 3, и складываем с 3 уравнением:
{ x - 3y - 2z + 3 = 0
{ 0x + 9y + 5z + 0 = 0
{ 0x + 23y + 0z + 1 = 0
Получили:
23y + 1 = 0; y = -1/23 = -5/115
9y + 5z = 0; 5z = 9/23; z = 9/115
x = 3y + 2z - 3 = -3/23 + 18/115 - 3 = 3/115 - 3 = -342/115
Кошмарная точка получилась: (-342/115; -5/115; 9/115)
Не знаю, может я где-то ошибся, но я ошибку не вижу.
4) Точка пересечения прямой L и плоскости P.
Тоже решаем систему из трех плоскостей.
{ 2x + 3y + z + 6 = 0
{ x - 3y - 2z + 3 = 0
{ x + 2y - z + 5 = 0
Методом Гаусса:
{ x - 3y - 2z + 3 = 0
{ x + 2y - z + 5 = 0
{ 2x + 3y + z + 6 = 0
Умножаем 1 уравнение на -1 и складываем со 2 уравнением.
Умножаем 1 уравнение на -2 и складываем с 3 уравнением.
{ x - 3y - 2z + 3 = 0
{ 0x + 5y + z + 2 = 0
{ 0x + 9y + 5z + 0 = 0
Умножаем 2 уравнение на -5 и складываем с 3 уравнением.
{ x - 3y - 2z + 3 = 0
{ 0x + 5y + z + 2 = 0
{ 0x - 16y + 0z - 10 = 0
Получили:
-16y - 10 = 0; y = -10/16 = -5/8
9y + 5z = 0; 5z = -9(-5)/8 = 45/8; z = 45/(8*5) = 9/8
x = 3y + 2z - 3 = -3*5/8 + 2*9/8 - 3*8/8 = -15/8 + 18/8 - 24/8 = -21/8
Точка пересечения прямой L и плоскости P: A(-21/8; -5/8; 9/8)