Задача 70218 Решите 3 задание...
Условие
математика 8-9 класс
131
Решение
★
a = n + 2m; b = 3n - m
a*b = 1
Найти cos(a; b)
Решение.
Так как m и n - базисные векторы, можно считать, что они перпендикулярны друг другу.
∠(m; n) = 90°, cos(m; n) = 0.
По теореме косинусов:
|a|^2 = n^2 + (2m)^2 - 2*n*2m*cos(180° - ∠(m; n))
cos(180° - ∠(m; n)) = -cos(m; n) = 0, поэтому:
|a|^2 = n^2 + 4m^2 - 4m*n*0 = 1^2 + 4*1^2 = 5
|b|^2 = (3n)^2 + m^2 - 2*3n*m*cos(m; n) =
= 9n^2 + m^2 - 6m*n*0 = 9*1^2 + 1^2 = 10
На картинке показаны эти векторы.
Получили:
|a| = sqrt(5); |b| = sqrt(10)
И по условию скалярное произведение:
a*b = 1
|a|*|b|*cos(a; b) = 1
sqrt(5)*sqrt(10)*cos(a; b) = 1
5*sqrt(2)*cos(a; b) = 1
cos(a; b) = 1/(5*sqrt(2)) = sqrt(2)/10 ≈ 0,1414
(a; b) ≈ 82° 