Задача 70165 ...
Условие
Решение
[i]Универсальная подстановка:[/i]
[m]tg\frac{x}{2}=t[/m] ⇒ [m]\frac{x}{2}=arctgt[/m] ⇒ [m]x=2arctgt[/m] ⇒
[m]dx=\frac{2}{1+t^2}dt[/m]
[m]sinx=\frac{2t}{1+t^2}[/m]
[m] ∫ \frac{sinx}{(1+sinx)^2}dx= ∫\frac{\frac{2t}{1+t^2}}{(1+\frac{2t}{1+t^2})^2}\frac{2}{1+t^2}dt= ∫ \frac{4t}{(1+t)^4}dt [/m]
[i]Замена переменной[/i]
[m]1+t=z[/m]
[m]t=z-1[/m]
[m]dz=dt[/m]
[m]= ∫ \frac{4(z-1)}{z^4}dz=4 ∫\frac{z}{z^4}dz- 4 ∫\frac{1}{z^4}dz=4 ∫\frac{1}{z^3}dz- 4 ∫\frac{1}{z^4}dz=4 ∫ z^{-3}dz-4 ∫z^{-4}dz= [/m]
[m]=4\frac{z^{-3+1}}{(-3+1)}-4\frac{z^{-4+1}}{(-4+1)}+C=-\frac{2}{z^2}+\frac{4}{3z^3}+C=[/m]
обратный переход к переменной t:
[m]=-\frac{2}{(1+t)^2}+\frac{4}{3(1+t)^3}+C=[/m]
Обратный переход к переменной х:
[m]=-\frac{2}{(1+tg\frac{x}{2})^2}+\frac{4}{3(1+tg\frac{x}{2})^3}+C[/m]